Forum : algèbre :
espace vectoriel euclidien

Bonjour,

une question comme ça en passant : existe-t-il des IR-espaces vectoriels de dimension finie qui ne peuvent être munis d'une structure euclidienne ?

Bonjour

Bien sûr que non, il suffit de choisir une base de l'espace vectoriel et de poser pour le produit scalaire la somme des produits des composantes deux à deux.
Ce qu'il faut voir plutôt c'est qu'il n'existe pas forcément de structure euclidienne canonique et intéressante à utiliser.

De la même façon, en acceptant l'axiome du choix on peut montrer que tout ensemble peut-être muni d'une structure de groupe (ou même de corps). Mais cela ne viendrait à l'idée de personne de considérer comme un corps avec des lois adéquates, cela n'aurait tout simplement pas de sens.

Fractal

Merci pour ta réponse