Matrice à la puissance n (A^n)

Posté par Examen Examen

Bonjour,

voilà un peu mon énoncé
alors une matrice A    -3  -2  -2
                        2   1   2
                        2   2   1

tout dabord on me fais calculer A² je trouve que A² = I
donc ensuite j'en déduis que c'est inversible et que A^(-1) = A

ensuite, il me demande en utilisant tout sa en déduire A^n "(on distinguera deux cas selon la parité de n)"

Je suis un peu bloqué.

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Commence par prouver que A^2k=I.

Posté par Examen Examen

J'ai pensé à:


si A^2=I alors A^3 =A

autrement dis :
A^n = I pour n pair
A^n = A pour n impair

correcte d'écrire sa comme sa?

et je voudrais aussi savoir s'il vous connaisez une méthode apliquable sur n'importe quel matrice pour calculer A^n avec un petit exemple :p (car bon là je suis tombé sur un cas particulier).

Posté par Camélia Camélia

Oui, c'est bien ça. Enfin, il faut l'emballer un peu pour la rédaction. Une petite récurrence ne ferait pas de mal...

Quant au cas général, vaste problème... Si tu sais trianguler ou diagonaliser bien sur ça simplifie les choses. par ailleurs, ton cas n'est pas si particulier que ça! Pour n'importe matrice nn il existe une manière d'exprimer Aⁿ comme combinaison linéaire des puissances inférieures. Mais tu verras tout ça un peu plus tard!

Posté par Examen Examen

diagonaliser et trigonaliser (même si la trigonalisation est pas mon fort) je sais le faire mais en quoi celà aide t'il?

Posté par Examen Examen

à propos je voulais demander car j'ai eu le cas résament est qu'une matrice peu etre no diagonalisable et no trigonalisable? et même question pour diagonalisable et trigonalisable?

Posté par Camélia Camélia

Si tu as une matrice diagonalisable, tu as A=P^-1DP avec P inversible et D diagonale.

Alors Aⁿ=P^-1DⁿP et le calcul de Dⁿ est immédiat! C'est un peu plus subtil dans le cas d'une triangulable, mais un peu du même genre!

Posté par Examen Examen

à merci bien pour la formule. elle est parfaite mais parfois j'ai aucun diagonalisation demandé avant, c'est que mettre la matrice à la puissance n est visible en fesant A2 voir A3 comme dans mon exemple ? en cours je me suis aperçus qu'à plusieurs calculs de A^n on calculer souvent le A² et A^3

Posté par Camélia Camélia

Oui, tant que l'on n'a pas une vraie théorie on donne les indications qui marchent bien dans l'exemple que l'on veut traiter. De toute façon, pour avoir une idée de récurrence c'est un minimum de calculer A² et A³, non?

Posté par jeanseb jeanseb

Bonjour



Oui:

C'est a dire la matrice de la rotation de pi/2

Non diagonalisable ou triangulable sur R.

Mais diagonalisable sur C.