triangles isométriques et semblables

Posté par sarah_ (invité)

ABC est un triangle acutangle (c'est-à-dire un triangle qui a 3 angles aigus).
H est le pied de la hauteur issue de A.
Soit C le cercle circonscrit à ABC de centre O et D le point diamétralement opposé à A.
On note r le rayon de C et on pose :
x = l' angle BAC, z = l' angle CBA, y = l' angle ACB;
a = BC, b = AC et c = AB.

1) Démontrer que :
sin z / b = sin y / c.

2) Démontrer que les triangles AHB et ACD sont semblables.
En déduire que : sin z / b = sin y / c = 1/ 2r.

3) Démontrer que : sin x / a = sin z / b = sin y / c = 1 / 2r.

4) Démontrer que : aire  (ABC) = ½ bc sin x.

5) Déduire des questions précédentes que : aire (ABC) = abc / 4r.  

Aidez moi SVP c'est très important j'ai appris à faire des exos de ce type SVP

Posté par sarah_ (invité)

j'ai jamais appris des exos comme ça

Posté par siOk siOk

Bonjour,


Voici des idées, à toi de justifier les détails...



Question 1
Le triangle ADC est rectangle et on a:  AD = AC / sin(ADC)

Comme les angles inscrits dans le cercle ADC et CBA interceptent le même arc, ils sont égaux.
donc  AD = b / sin z

Avec le même raisonnement, on va montrer que:
AD = c / sin y

On en déduit:    b /  sin z = c / sin y      donc  sin(z) / b = sin(y) / c



Question b
Pour les triangles ABH et ACD:
   BHA = 90° = ACD
   ABH = ADC
donc ils ont deux angles respectivement égaux
donc ils sont isométriques
donc les longueurs des côtés homologues (qui se correspondent) sont proportionnelles
AB / AD = AH / AC               ( aussi égal à BH / CD )

Comme AH = AB sin(CBA),     en simplifient par AB,   



Question 3
On pose E le point diamétralement opposé à B ... et on recommence les questions précédentes. Mais est-ce utile de le faire ?



Question 4
aire(ABC) = 1/2 BC AH = 1/2 BC AB sin(CBA)



Question 5
Facile ... avec ce qui précéde !