Théoreme de Caychy-Lipschitz et solution maximale ou globale

Posté par anthony7788 anthony7788

Bonsoir,
vous pouvez m'aider de corriger l'exercice au dessous?

Déterminez en justifiant leur existence et unicité éventuelles les solutions globales pour t ou maximales(et leur intervalle maximal)des équations différentielles suivantes avec conditions initiales de Cauchy:
(a) y'(t)=1+y(t)², y(/4)=1
(b) y'(t)=(t/4)y(t)(y(t)²-1), y(0)=1/2 ;poser z=1/y² pour y0 (équation de Bernouilli)

Merci d'avance

Posté par disdrometre disdrometre

salut

a) y(t)=tan(t) sur ]-pi/2+T;pi/2+T[  avec T=kpi k élément de Z

Posté par Fractal Fractal

a) Je dirais même plus, y(t) = tan(t - k) avec k un réel quelconque, sur l'intervalle qui marche.

b) C'est une équation à variables séparables (tout comme le a) d'ailleurs)

Fractal

Posté par anthony7788 anthony7788

c'est quoi la marche?
en fait,je n'ai sais pas comment faire par une etape,une etape..
vous pouvez corriger completement?
Merci beapcoup! merci ~~

Posté par anthony7788 anthony7788

j'ai besoin de votre aide. merci

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Pour la première équation:

(on a le droit le dénominateur ne s'annule pas)

où k est une constante réelle.

Pour t=/4, on doit avoir Arctan(1)=/4, donc k=0.

Donc Arctan(y(t))=t et par suite, y(t)=tan(t). Comme /4 doit être dans l'intervalle de définition, la solution maximale cherchée est définie sur ]-/2,/2[

Posté par anthony7788 anthony7788

Pour la première équation:
c'est facile de voir la fonction dérivée..
mais comment faire la 2eme
comme cette exercice,comment touver la fonction?c'est quoi la marche(etape)?

Posté par disdrometre disdrometre

y'=t/4 y(y²-1)

z=1/y²

z'=-2y'/y^3

y'/y^3 = t/4 (1 -1/y²)

(-z'/2) =(t/4)(1-z)

dans un intervalle I où z est différent de 1

z'/(1-z) = -t/2

et on intègre ...

Posté par anthony7788 anthony7788

en fait,
je sais pas comment calculer z'=(t/2)z-t/2..
quelle methode?

Posté par disdrometre disdrometre

c'est vrai ?  mais tu es fin de sup et tu ne sais pas intégrer

  dz/(1-z) = - tdt/2

Posté par anthony7788 anthony7788

en fait,
le cours est pressé
on n'a pas fait td comme cette exercices..
vous pouvez m'expliter comment faire?
je pas bien compris...
z=quoi?

Posté par anthony7788 anthony7788

ok...j'ai trouve que z=1+c*et²/4...
apres on a y=(1+3*et²/4)^-1/2...

mais pourquoi J=R?c'est une solution globalement?
ici J=R cad Im(y)? mais y est toujours positive..

Posté par anthony7788 anthony7788

alors,
bonsoir...
qui peut me corriger cet exercice
y'(t)=-3y(t)^4/3sint, y(/4)=1

Posté par disdrometre disdrometre

ln(1-z) = t²/4 +C

1-z=Aexp(t²/4)

z=1-Aexp(t²/4)

c'est quoi J ?

Posté par anthony7788 anthony7788

oui oui,je le sais..
mais je pas comment faire
-(1/3)y'y^-4/3=sint

Posté par anthony7788 anthony7788

c'est nouvelle question...
-(1/3)y'y^-4/3=sint

Posté par disdrometre disdrometre

intègre séparément les deux parties ..

Posté par anthony7788 anthony7788

c'est vrai?
sint=-cost
-(1/3)y'y^-4/3=??

Posté par disdrometre disdrometre

sais-tu intégrer

u'u^k ?

c'est vrai que tu es en Sup ?

Posté par anthony7788 anthony7788

j'etudie l'informatique...
tu peut m'expliquer?

Posté par disdrometre disdrometre


(u^(b+1))' = (b+1)u'u^b

d'accord..

donc  une primitiive de u'u^b est    (u^(b+1))/(b+1)


déduis en une primitive de y'y^(-4/3)..

Posté par anthony7788 anthony7788

=y^-1/3
merci bcp

Posté par anthony7788 anthony7788

pour l'exercices,
comment determiner leur intervalle maximal??

Posté par disdrometre disdrometre

que dit le théorème de Cauchy Lipschitz ?