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autrebase des matrice

#msg1920579 Posté le 22-06-08 à 13:51
Posté par ProfilExamen Examen

Bonjour,

la matrice utilisée est  A=  -3  -2   -2
                                           2   1    2
                                           2   2    1

A est la base canonique de f

l'énoncé est :
"déterminer une base de Ker(f - Id) (je précise que Id est dans R^3)  et une base Ker(f + Id). On rapelle que Ker(f + aId) = {x apartient à R^3: f(x) + ax = 0 R^3} "  

Alors avec sa jai calculet Ker(f - Id) qui donne :

-4  -2  -2
2   0   2
2   2   0

je calcule le système des trois équation:

-4x-2y-2z =0
2x   + 2z =0
2x+ 2y    =0


avec le pivot de gauss j'obtient:

x= -2y-2z

V1={(-2y-2z,y,z), y et z apartient à R}

B1= {(-2,1,0),(-2,0,1)}

je fais de meme pour Ker(f+Id)

j'obtient B2= {(-1,1,0) , (-1,0,1)}

ensuite on me demande "montrer que l'on obtient une base B' de r^3 en réunissant les bases obtenues ci dessus"

Pour la je sais pas comment réunir des bases (l'addition pur et simple?)

Alors voila je voudrais votre avis sur la première question savoir si c'est correct ce que je fais et si je fais pas des erreurs dans ma présentation (ou la façon d'exprimer ma base , mes vecteur ...) n'hésitez pas   et avoir une petite réponse pour la suite


A oui tant que j'y suis pour la suite on doit faire une matrice A' dans la nouvelle base B' suffi de faire A * B'?
re : base des matrice#msg1920582 Posté le 22-06-08 à 13:55
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Salut

Je ne suis pas d'accord pour V1

On a 3$\{2x+y+z=0\\x=-z\\x=-y .. j'ai 3$\rm dim Ker(f-Id_E)=1
re : base des matrice#msg1920583 Posté le 22-06-08 à 14:03
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Citation :
ensuite on me demande "montrer que l'on obtient une base B' de r^3 en réunissant les bases obtenues ci dessus"


Vi vi, on les réunit bêtement

La base de 2$\rm Ker(f-Id_E) ne doit contenir qu'un seul vecteur de 3$\rm{\bb R}^3^ (donc qu'un seul triplet que je nomme 3$(x,y,z) )

Tu dois donc montrer que la famille 3$\((x,y,z),(-1,1,0),(-1,0,1)\) forme une base de 3$\rm{\bb R}^3^

Sauf erreurs
re : base des matrice#msg1920584 Posté le 22-06-08 à 14:07
Posté par ProfilExamen Examen

Oo

ben je vais détaillé mon pivot de gauss mais je vois pas comment tu à trouvé sa.

Donc mon système est (désolé pour l'incolade manquante mais j'ai pas trouvé le BBcode associé):


-4x-2y-2z =0
2x   + 2z =0
2x+ 2y    =0

-4x-2y-2z=0
    -2y+2z=0
    +2y-2z=0

x=1/2y+1/2z

(j'ai fais une petit erreur de calcul précédament mais sa reste de dim 2)

qui donne
V1={(1/2y+1/2z,y,z), y et z apartient à R}

B1= {(1/2,1,0),(1/2,0,1)}

peut tu dire ou est mon erreur ou détaillé ton calcul stp.
re : base des matrice#msg1920586 Posté le 22-06-08 à 14:15
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Je suis toutafé d'accord avec ton système

On a bien,  3$\rm{(S):}\{-4x-2y-2z=0\\2x+2z=0\\2x+2y=0

En divisant la première égalité par -2 et les 2 autres par 2, on tombe sur

3$\rm{(S):}\{2x+y+z=0\\x+z=0\\x+y=0

d'où

3$\rm{(S):}\{2x+y+z=0\\x=-z\\x=-y

Finalement, avec l'astuce belge 3$z=1\times z, on a 3$\rm{(S):}\{x=-z\\x=-y\\z=1\times z et 3$x=-y donne 3$y=-x=-(-z)=z

Conclusion 3$\fbox{\rm{(S):}\{x=-z\\y=z\\z=z donc 3$\rm Ker(f-Id_E) est la droite vectorielle dirigée par le vecteur 3$\rm \vec{u}\|-1\\1\\1

Une base de 3$\rm Ker(f-Id_E) est 3$\rm\fbox{B_1\,=\,(-1,1,1)

re : base des matrice#msg1920587 Posté le 22-06-08 à 14:21
Posté par ProfilExamen Examen

exact n'empeche en partant avec un pivot de gauss on obtient dim 2 c'est bizard mais on se rend compte après qu'il y a un vecteur de trop 4 au lieu de 3.

et pour ta méthode on aurais peus faire en fonction de x.

merci bien
re : base des matrice#msg1920589 Posté le 22-06-08 à 14:26
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Même ^^

Avec Gauss on tombe sur 3$\(\array{1&\fr12&\fr12\\0&1&1\\0&0&0}\)
re : base des matrice#msg1920590 Posté le 22-06-08 à 14:28
Posté par ProfilExamen Examen

a oui c'est vrai, j'enlevé une ligne bêtement. Merci Merci je continue mes révisions
re : base des matrice#msg1920592 Posté le 22-06-08 à 14:30
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Pas de problèmes !

Et alors, tu as réussi à montrer que B1 et B2 formaient une base de R3 ?
re : base des matrice#msg1920598 Posté le 22-06-08 à 14:40
Posté par ProfilExamen Examen

oui

alors la base B'={(-1,1,1),(-2,1,0),(-2,0,1)}

ensuite je résous le système:

-x-2y-2z=0
x+y     =0
x     +z=0

x=y=z=0

Donc c'est bien une base de R^3

ensuite pour passer A dans la  base B':

A'=A*Mb=

-1  4  4
1  -3  -2
1  -2  -3


ensuite doit trouver une relation entre A A' P et P'  je suis entrain de chercher
re : base des matrice#msg1920599 Posté le 22-06-08 à 14:41
Posté par ProfilExamen Examen

je corrige une ligne mal écrite A'= A*MB'
re : base des matrice#msg1920602 Posté le 22-06-08 à 14:43
Posté par ProfilExamen Examen

et la relation c'est A=P*A'*P-1

il me demande de calculer P, je vais diagonaliser
re : base des matrice#msg1920606 Posté le 22-06-08 à 14:45
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Ok c'est bon


Citation :
A oui tant que j'y suis pour la suite on doit faire une matrice A' dans la nouvelle base B' suffi de faire A * B'?


Oui c'est du cours, comme la formule reliant A,A',P et P'
re : base des matrice#msg1920611 Posté le 22-06-08 à 14:56
Posté par ProfilExamen Examen

enfet pour la matrice P de la base B a la base B' c'est simplement le matrice MB'

sois

P={(-1,1,1),(-2,1,0),(-2,0,1)}
re : base des matrice#msg1920612 Posté le 22-06-08 à 14:58
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Qu'est-ce que je raconte ! La formule A'=A*MB' n'a rien à voir ici, et est fausse

On connaît :

¤ les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base B' dans la base canonique B0 de R3 -> donc on connaît P qui est inversible, donc on connaît P-1

¤ A

On cherche A' avec 3$\rm\fbox{A'=P.A.P^{-1
re : base des matrice#msg1920614 Posté le 22-06-08 à 14:59
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Non attention, tu lis une ligne au-dessus dans ton premier post. Lis plutôt

Citation :
j'obtiens B2= {(-1,1,0) , (-1,0,1)}


re : base des matrice#msg1920620 Posté le 22-06-08 à 15:12
Posté par ProfilExamen Examen

ok  alors on a MB' = P

on fais l'inverse avec :
P={(-1,1,1),(-1,1,0),(-1,0,1)}

-x+x+z=a
-x+y+z=b
-x+z=c


ensuite on applique simplement A'=P*A*P-1


mais c'est bizard qu'il demande de calculer A' dans la base B'

et que la prochaine question c'est donne P et la relation liant A,A',P,P-1 alors qu'on l'utilise dans la question précédente.

En tout cas merci, maintenant je passe à un autre exercice s'il y à pas de problèmes ,on doit prouver que c'est bien une application linéaire :
f(x,y,z) = (x+3y-5y,3x-7y+15z,2x-6y+12z) je vous dirais quoi
re : base des matrice#msg1920643 Posté le 22-06-08 à 15:53
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Si on reprend, on a 3$\rm A=\(\array{-3&-2&-2\\2&1&2\\2&2&1\)

On a construit une nouvelle base 3$\rm\scr{B}' de 3$\rm{\bb R}^3^ : 3$\rm\scr{B}'=({e'}_1,{e'}_2,{e'}_3) avec 3$\rm {e'}_1\|-1\\1\\1, 3$\rm {e'}_2\|-1\\1\\0 et 3$\rm {e'}_3\|-1\\0\\1

On cherche à exprimer les vecteurs colonnes 3$\rm u_1,u_2,u_3 de A en fonction de 3$\rm {e'}_1,{e'}_2,{e'}_3.

On a assez facilement 3$\fbox{\rm u_1={\|-3\\2\\2\,}=\,{e'}_1\,+\,{e'}_2\,+\,{e'}_3

et 3$\fbox{\rm u_2={\|-2\\1\\2\,}=\,{e'}_1\,+\,{e'}_3 et 3$\fbox{\rm u_3={\|-2\\2\\1\,}=\,{e'}_1\,+\,{e'}_2

Ainsi, on peut croire que 3$\rm A'=\(\array{1&1&1\\1&0&1\\1&1&0\)

Mais le problème est que 3$\rm P^{-1}.A.P=\(\array{1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\) ... y a un problème j'ai dû faire une erreur quelque part.
re : base des matrice#msg1920650 Posté le 22-06-08 à 16:01
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Bonjour

Je n'ai pas fait les calculs, mais une fois sur deux (me voilà forte en probas) l'erreur vient d'une confusion entre P et P-1. Alors calcule l'autre, c'est peut-être ça!
re : base des matrice#msg1920654 Posté le 22-06-08 à 16:07
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Bonjour Camélia

Avec 3$\rm P=\(\array{-1&-1&-1\\1&1&0\\1&0&1\),

on a 3$\rm P^{-1}=\(\array{1&1&1\\-1&0&-1\\-1&-1&0\)

et 3$\rm P.A.P^{-1}=P^{-1}.A.P=\(\array{1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\)



Sauf erreur
re : base des matrice#msg1920657 Posté le 22-06-08 à 16:08
Posté par ProfilExamen Examen

je vais voir si je trouve pareil que toi avec P-1.A.P

Dite pour

Citation :

on doit prouver que c'est bien une application linéaire :
f(x,y,z) = (x+3y-5y,3x-7y+15z,2x-6y+12z) je vous dirais quoi


est que je peus prendre f(1,0,0) , f(0,1,0) et f(0,0,1) pour veréfier la stabalité a l'addition et la multiplication (car j'ai un soucis a la multiplication)?
re : base des matrice#msg1920661 Posté le 22-06-08 à 16:10
Posté par Profilgui_tou gui_tou

(et dans ma formule de 14:58 s'est glissé un lapsus malencontreux .. c'est bien sûr 3$\rm\fbox{A=P.A'.P^{-1)
re : base des matrice#msg1920662 Posté le 22-06-08 à 16:11
Posté par ProfilExamen Examen

à voila c'est sa que je me demandé taleur car j'ai vu que tu avez changer la formule que j'avais dite.
re : base des matrice#msg1920667 Posté le 22-06-08 à 16:18
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Citation :
Etant donné des 3$\bb K-espaces vectoriels E et F, une application f de 3$E dans 3$F est une application linéaire lorsque :

¤ 3$\forall (x,y)\in E^2,\;f(x+y)\,=\,f(x)+f(y)

¤ 3$\forall (\lambda,x)\in {\bb K}\times E,\;f(\lambda.x)\,=\,\lambda.f(x)


Ici, 3$\bb K=R, 3$ E=F et prends à la place de x et y les vecteurs 3$u\|x_1\\y_1\\y_2 et 3$v\|x_2\\y_2\\z_2
re : base des matrice#msg1920673 Posté le 22-06-08 à 16:24
Posté par ProfilExamen Examen

oui je sais tout sa mais...

ben je vais t'écrire se que j'ai fais

Alors on a f(x,y,z) = (x+3y-5y,3x-7y+15z,2x-6y+12z)

f(1,0,0)=(1,3,2)
f(0,1,0)=(3,-7,-6)
f(0,0,1)=(-5,15,12)

(1,3,2)+(3,-7,-6)+(-5,15,12)=(-1,11,8)
f(1,1,1)=(-1,11,8)
donc stable pour l'addition

mais pour la multiplication f(1,0,0)*f(0,1,0)*f(0,0,1) pose problème car sa vaux 0
re : base des matrice#msg1920677 Posté le 22-06-08 à 16:27
Posté par Profilgui_tou gui_tou

ça vaut 0 ^^

Là, tu as montré que f est stable pour l'addition pour x=y=z=1 mais pas dans le cas général !
re : base des matrice#msg1920689 Posté le 22-06-08 à 16:34
Posté par ProfilExamen Examen

ok

je revois tout sa avant un petit truc à finir concernant la suite .
re : base des matrice#msg1920708 Posté le 22-06-08 à 16:48
Posté par Profilgui_tou gui_tou

on te demande A' dans la base B', c'est quoi A' ?
re : base des matrice#msg1920712 Posté le 22-06-08 à 16:49
Posté par ProfilExamen Examen

enfet on me demande A dans la base B' et cette "nouvelle " matrice s'apellera A'
re : base des matrice#msg1920721 Posté le 22-06-08 à 16:55
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Okédac, j'ai trouvé mon erreur

Je recopie tout ça !
re : base des matrice#msg1920738 Posté le 22-06-08 à 17:17
Posté par Profilgui_tou gui_tou

On a donc 3$\rm A=\(\array{-3&-2&-2\\2&1&2\\2&2&1\). Soit 3$f l'endomorphisme canoniquement associé à A dans la base 3$\scr{B}=(e_1,e_2,e_3).

On lit 3$\|f(e_1)=-3e_1+2e_2+2e_3\\f(e_2)=-2e_1+e_2+2e_3\\f(e_3)=-2e_1+2e_2+e_3

Soit 3$\rm\scr{B}'=({e'}_1,{e'}_2,{e'}_3) une nouvelle base de 3$\bb R^3, avec 3$\rm {e'}_1\|-1\\1\\1_{\scr{B , 3$\rm {e'}_2\|-1\\1\\0_{\scr{B et 3$\rm {e'}_3\|-1\\0\\1_{\scr{B.

On va chercher à écrire les coordonnées de 3$f({e'}_1),f({e'}_2),f({e'}_3) dans la base 3$\rm\scr{B}'. Commençons par les chercher dans la base 3$\rm\scr{B}

Soit 3$\rm Y_i=mat_{\scr{B}}\(f(e_i)\) et X_i=mat_{\scr B}(e_i) pour 3$\rm i\in{1,2,3}

Alors 3$\fbox{\rm Y_i=A.X_i.

Ce qui nous donne 3$\rm Y_1=\(\array{-1\\1\\1\), 3$\rm Y_2=\(\array{-1\\1\\0\) et 3$\rm Y_3=\(\array{1\\0\\-1\)

soit 3$\rm f({e'}_1)\|-1\\1\\1_{\scr{B , 3$\rm f({e'}_2)\|-1\\1\\0_{\scr{B et 3$\rm f({e'}_3)\|-1\\0\\1_{\scr{B

On remarque que 3$\fbox{\|f({e'}_1)={e'}_1\\f({e'}_2)=-{e'}_2\\f({e'}_3)=-{e'}_3 et donc 3$\fbox{\fbox{\rm A'=\(\array{1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\)

J'ai d'ailleurs fait une erreur de recopie dans mes posts de 15h53 et 16h07, le dernier élément de A' est bien -1 et non 1.

C'est mon dernier mot, Examen

Et mille excuses pour les erreurs et les embrouilles ...
re : base des matrice#msg1920745 Posté le 22-06-08 à 17:27
Posté par ProfilExamen Examen

super détaillé un grand merci

mais la dans ton explication f(e'1) = e'1  f(e'2)=e'2 et f(e'3)=e'3

je pense ya une petit erreur.
re : base des matrice#msg1920748 Posté le 22-06-08 à 17:30
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Oui toutafé, j'ai oublié de modifier le copier coller


3$\rm f({e'}_1)\|-1\\1\\1_{\scr{B

3$\rm f({e'}_2)\|1\\-1\\0_{\scr{B

3$\rm f({e'}_3)\|1\\0\\-1_{\scr{B

re : base des matrice#msg1920752 Posté le 22-06-08 à 17:34
Posté par ProfilExamen Examen

ok

ben tout compris

dis si on vois pas a vu d'oeil le raport avec les f(e) et e on fais comment?

je vais bientot reposter une partie de ce que je travail je bloque pas mais c'est juste pour avoir votre avis.
re : base des matrice#msg1920761 Posté le 22-06-08 à 17:41
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Tu peux me tutoier, je pense même que t'es plus vieux que moi

Ba la méthode systématique c'est de dire 3$\rm\fbox{A=P.A'.P^{-1.

Ici, vu que A' est relativement simple, on t'a fait calculer les f(e'i), et les relations entre les f(e'i) et les e'i sont simples

Je regarde pour le deuxième exo.
re : base des matrice#msg1920809 Posté le 22-06-08 à 18:18
Posté par ProfilExamen Examen

voilà les questions:

f(x,y,z) = (x+3y-5z,3x-7y+15z,2x-6y+12z)

1)vérifier que f est ne application linéaire et donner sa matrice dans la base canonique de R3

2) soit g = f - 2IdR3. Vérifier que la matrice de g dans la base canonique de R3 est M-2I3, où I3 est la matrice identité de taille 3. Donner une base de Ker(g).

3) Calculer (M-2I3)² . Que peut-on dire de l'application g o g?


mes réponses:

1) f(x,y,z) = (x+3y-5z,3x-7y+15z,2x-6y+12z)

les vecteurs u(x,y,z) et v(x',y',z')

f(u+v)=f(x+x',y+y',z+z')


(pour la suite ce sont les trois ligne entre parentère désolé connais pas du tout le BBcode et si je laisser en ligne sa allez être illisible.)

  (x+x')+3(y+y')-5(z+z')
= 3(x+x')-7(y+y')+15(z+z')
  2(x+x')-6(y+y')+12(z+z')

je simplifie sa me donne

   x+3y-5z        x'+3y'-5z'    
=  3x-7y+15z  +   3x'-7y'+15z'
   2x-6y+12z      2x'-6y'+12z'

=f(u)+f(v)

stable pour l'addition

a*u(a*x,a*y)

            a*x+a*3ya*5z
f(a*u) =    a*3x-a*7y+a*15z
            a*2x-a*6y+a*12z


     x+3y-5z
=a *  3x-7y+15z
     2x-6y+12z

=a*f(u)


stable pour la multiplication

f est bien une application linéaire


sa matrice est:          1   3  -5
                    M=   3  -7  15
                         2  -6  12

2) Alors la pas trop compris car étant donné que M est la matrice de f si g=f-2*IdR3 forcément sa matrice est M-2I3

pour sa base:

              -1   3  -5
Mg= 3  -9  15
               2  -6  10

-x+3y+2z=0
3x-9y-6z=0
-5x-6y+10z=0


(la je vais détailler car il sa me semble bizar que sa sois libre)

donc je fais un pivot de gauss

x+3y+2z=0
  -16y-12z=0
   30y+22z=0

x+3y+2z=0
  -16y-12z=0
       160z=0

x=0
y=0
z=0

la base est {(-1,3,2),(3,-9,-6),(-5,15,10)}

3) (M-2*I3)² = 0R3

donc g o g = 0R3
re : base des matrice#msg1920815 Posté le 22-06-08 à 18:21
Posté par ProfilExamen Examen

pour la question d'après

4) trouver un vecteur u apartient à R3 tel que u n'appartient pas a Ker(g)

eu il y en a une infinité non?
re : base des matrice#msg1920841 Posté le 22-06-08 à 18:52
Posté par ProfilExamen Examen

pour que deux espaces vectoriels sois suplémentaire il faut que la dim(E1nE2) sois nul? si oui,ya que comme sa qu'on peus le prouver ?
re : base des matrice#msg1921022 Posté le 22-06-08 à 22:54
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Je pose 3$\rm E={\bb R^}^3 et 3$\rm\scr{B la base canonique de E

Citation :
2) Alors la pas trop compris car étant donné que M est la matrice de f si g=f-2*IdR3 forcément sa matrice est M-2I3


Justement on te demande de la vérifier

en calculant f(1,0,0)-2(1,0,0) , f(0,1,0)-2(0,1,0) et f(0,0,1)-2(0,0,1), on a bien 3$\rm\fbox{M'=mat_{\scr{B}}(g)=M-2I_3=\(\array{-1&3&-5\\3&-9&15\\2&-6&10\)

De plus, 3$\rm Ker(g)=Ker(f-2I_E)

On voit que la deuxième ligne de M' vaut -3 fois la deuxième, la troisième vaut -2 fois la première.

Une équation de 3$\rm Ker(g) est donc 3$-x+3y-5z=0 d'où (avec la dorénavant fameuse astuce belge ^^) :

3$\fbox{\{x=3y-5z\\y=1y+0z\\z=0y+1z

Ker(g) est le plan vectoriel de base (v,w) où 3$\rm w\|3\\1\\0_{\scr B et 3$\rm v\|-5\\0\\1_{\scr B


Citation :
3) (M-2*I3)² = 0R3

donc g o g = 0R3


oui dans l'esprit, non pour les notations

3$\rm(M-2I_3)^2 est une matrice carrée d'ordre 3 et c'est donc le vecteur nul de 3$\mathcal{M}_3({\bb R}), pas de R3

et 3$\rm g\cir g=0_{\mathcal{L}(E)} car gog = g² est un endomorphisme

Citation :

pour la question d'après

4) trouver un vecteur u apartient à R3 tel que u n'appartient pas a Ker(g)

eu il y en a une infinité non?


Oui il y en a une infinité. Il suffit que ce vecteur ne soit pas une combinaison linéaire de w et de v. Le vecteur 3$\rm u\|3\\2\\0 convient nan ?

Citation :
pour que deux espaces vectoriels sois suplémentaire il faut que la dim(E1nE2) sois nul? si oui,ya que comme sa qu'on peus le prouver ?


oui s'ils sont de dimension finie

tu veux prouver quoi avec ça ?

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