problème de résolution d'une équation...

Posté par Quent225 Quent225

Bonjour tout le monde!
Voici un exercice que j'ai trouvé dans un livre:
<<Soit à résoudre l'équation suivante:
où désigne la partie entière de . Par définition, la partie entière d'un nombre est un entier tel que . Autrement dit: .>>
J'ai essayé de le résoudre mais je ne trouve que deux solutions sur trois,... c'est pourquoi je vous donne ici tout mon résonnement pour voir si il est correct:
->Résolution de l'équation

Soit , un entier tel que .
Dès lors,



Or, par définition, . Donc,




-->1 cas: est positif

Si est positif, on a:


Pour autant que soit positif et inférieur à , le système peut s'écrire:



En cherchant les racines et en étudiant le signe du système, on obtient le tableau de signe suivant:



Ce qui nous permet de conclure que . Étant donné que est un entier, il ne peut être égal qu'à dans le cas présent. De même, comme , .


-->2 cas: est négatif

Si est négatif, on a:


Pour autant que soit négatif, le système peut s'écrire:



En appliquant le même résonnement qu'à la section précédente, on obtient le tableau suivant:



Ce tableau nous permet alors de conclure, en vertu du sens des inégalités et des conditions d'existances, que . étant un entier, il ne peut être égal qu'à dans le cas présent. Donc .
En conclusion, je trouve un ensemble de solution égale à ...
Merci à tout ceux qui auront la patience de me répondre,...
Quent225

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Bonjour,

Première réaction : une racine ne peut jamais être négative. Donc je ne comprends pas bien le sens de ton "2ème cas".

Posté par Quent225 Quent225

je me suis mal exprimé, le deuxieme cas est lorsque l'on a ... désolé...

Posté par Quent225 Quent225

et puis une racine peut être négative,... c'est le radican qui ne peut pas l'être, non???

Posté par critou critou

Bonjour,

Le radicande ne peut pas être négatif ; mais une racine carrée est elle-même aussi toujours positive. Rappel (cours de 3ème) : la racine carrée du nombre a>0 est définie comme la solution positive de l'équation . Dit d'une autre façon : la fonction racine carrée est définie sur R+ et prend ses valeurs dans R+

Posté par Quent225 Quent225

soit,... je retire ce que j'ai dit.

Posté par simon92 simon92

en tout cas, joli latex

Posté par Quent225 Quent225

merci! j'avoue que je m'en sort plutôt bien avec le LaTeX...

Posté par critou critou

Oui chapeau pour le latex !

Par contre, quand tu supposes


il faudrait peut-être aussi traiter les autres cas ... ?

(je dis ça, mais j'ai très la flemme de le faire )

Posté par Quent225 Quent225

quoiqu'il en soit, personne n'a une piste?

Posté par Quent225 Quent225

ah oui, pas bête ça,...! je vais essayer...

Posté par simon92 simon92

déjà dit que est un entier.
s'écrit ou
une étude de fonction devrait apporter toute les solution.
en est une me semble t-il

Posté par Quent225 Quent225

tout à fait... est la dernière solution.

Posté par Quent225 Quent225

je me demande si on peut avoir le cas suivant:

Posté par Quent225 Quent225

je retire ce que j'ai écrit à 17:16!

Posté par critou critou

Le plus court que j'aie trouvé par étude de cas :

1) On remarque que forcément k<2 (ie k1). En effet, si k2, alors x2 et x²+[x]-24.

2) Ainsi on a 2-k>0 et l'équation de départ se traduit par x²+k-2=0  i.e.  x=±

3) Si k0 : le cas k=0 ne donne pas de solution, le cas k=1 donne x=1 comme solution.

4) Si : alors x0, donc k=[x]0 : cas qui a déjà été vu à l'étape 3)

5) Si : alors x<0 (pas nul car sinon k=0, déjà vu) et k<0 . On a le système  :

  (ces deux nombres sont 0)
  (ces deux nombres sont 0, car k<0 donc k+1<1 ie k+10)




  -> solutions -2  ou 1 : les k1 ont déjà été vus
-> delta=13, k1-3,3 et k20,3, les solutions sont dans [k1 , k2]

En combinant ces deux ensembles de solutions et en n'y prenant que les entiers, k peut valoir -3 ou -2. On voit rapidement que k=-3 donne une solution, et que k=-2 donne .


Sauf erreur de ma part (j'ai relu vite fait mais bon...)

Critou

Posté par Quent225 Quent225

merci Critoux! ton message m'a beaucoups aidé. En fait je n'ai pas fait d'erreur(hormis l'histoire de la racine carrée,...), j'ai "juste" omis une solution!
Merci à tous et bonne soiréé

Posté par lafol lafol

Bonjour
autre variante :

La partie entière de x étant 2-x², on a
la résolution de ce système de deux inéquations donne deux intervalles : un coincé dans ]-3;-2], donc partie entière de x = -3 ou -2, et l'autre coincé dans [1;2[ donc partie entière de x = 1

ensuite, on résout l'équation 2-x² = partie entière de x dans chacun de ces cas :

2-x² = -3 donne x² = 5 donc (solution positive à exclure car partie entière non conforme)
2-x² = -2 donne x² = 4 donc x = -2 (même remarque)
2-x² = 1 donne x² = 1 donc x = 1 (même remarque, cette fois c'est la solution négative qui est à exclure)

Posté par Quent225 Quent225

Pourquoi faire simple, quand on peut faire compliqué, c'est ça?
Merci pour cette solution!

Posté par lafol lafol

avec plaisir