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Suites
Posté le 22-06-08 à 16:08
Posté par 
matecha matecha
bonjours,
on sait que 1+2+3.....+n = n*(1+n)/2 ( nombres de termes * (U1 * Un)/2. (1)
Déomnstration conue par : Sn = n*(U1+Un)/2
Mais 1^2 + 2^2 .......+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6 je n'arrive pas à le demontré.
c a d où est le nombre de termes et pourquoi diviser par 6:
ce que j'ai fait:
1 + 4 + 9 + 16..........+n^2 (2)
+3 +5 +7
(2*1+1); (2*2+1);...(2*3+1)...........(2n+1). on multiplie par 2 et on ajoute 1
donc j'ai deux sommes:
1+2+3.....n = n(n+1)/2 et 1^2 + 2^2....n^2 = ?*(1^2+n^2)/?
Je n'arrive pas à trouver ni le nombre de termes de l'équation (2)?est ce que c'est: n^2?; ni pourquoi on divise par 6? U1 = 1
Si vous pouvez me faire une démonstration comme celle de la somme des n termes.Merci.
*** message déplacé ***
matecha matechabonjours,
on sait que 1+2+3.....+n = n*(1+n)/2 ( nombres de termes * (U1 * Un)/2. (1)
Déomnstration conue par : Sn = n*(U1+Un)/2
Mais 1^2 + 2^2 .......+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6 je n'arrive pas à le demontré.
c a d où est le nombre de termes et pourquoi diviser par 6:
ce que j'ai fait:
1 + 4 + 9 + 16..........+n^2 (2)
+3 +5 +7
(2*1+1); (2*2+1);...(2*3+1)...........(2n+1). on multiplie par 2 et on ajoute 1
donc j'ai deux sommes:
1+2+3.....n = n(n+1)/2 et 1^2 + 2^2....n^2 = ?*(1^2+n^2)/?
Je n'arrive pas à trouver ni le nombre de termes de l'équation (2)?est ce que c'est: n^2?; ni pourquoi on divise par 6? U1 = 1
Si vous pouvez me faire une démonstration comme celle de la somme des n termes.Merci.
*** message déplacé ***
re : Résolution d'un système de racine nième Posté le 22-06-08 à 16:22
Posté le 22-06-08 à 16:22Posté par Camélia Camélia 
Bonjour
Le plus simple c'est de vérifier par récurrence la relation que l'on te donne.
*** message déplacé ***
Camélia Camélia Bonjour
Le plus simple c'est de vérifier par récurrence la relation que l'on te donne.
*** message déplacé ***
Suites Posté le 22-06-08 à 16:32
Posté le 22-06-08 à 16:32Posté par matecha matecha
Bonjours,
Excuse moi, j'ai peut être répondu sur l'autre Topic mais sincèrement je n'arrive pas à maitriser encore comment s'organiser sur le site.
oui c'est juste par récurrence. Mais ce que je veux c'est savoir pouquoi le résultat c'est: n(n+1)2n+1)/6?
j'ai essayé de le démontrer mais en vain. Merci au moins de me dire le nombre de termes et ...et je trouverais. Merci d'avance.
matecha matechaBonjours,
Excuse moi, j'ai peut être répondu sur l'autre Topic mais sincèrement je n'arrive pas à maitriser encore comment s'organiser sur le site.
oui c'est juste par récurrence. Mais ce que je veux c'est savoir pouquoi le résultat c'est: n(n+1)2n+1)/6?
j'ai essayé de le démontrer mais en vain. Merci au moins de me dire le nombre de termes et ...et je trouverais. Merci d'avance.
re : Suites Posté le 22-06-08 à 16:36
Posté le 22-06-08 à 16:36Posté par matecha matecha
Pour camélia,
Je vais m'absenter pour un moment RDV tout à l'heur et merci .
matecha matechaPour camélia,
Je vais m'absenter pour un moment RDV tout à l'heur et merci .
re : Suites Posté le 22-06-08 à 16:39
Posté le 22-06-08 à 16:39Posté par Camélia Camélia
On a bien
(2+1)}{6})
On suppose que(2n+1)}{6})
Alors^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2)
et je te laisse vérifier que ceci est égal à(n+2)(2(n+1)+1)}{6})
Camélia Camélia On a bien
On suppose que
Alors
et je te laisse vérifier que ceci est égal à
Suites Posté le 22-06-08 à 19:26
Posté le 22-06-08 à 19:26Posté par matecha matecha
Merci camélia pour la réponse. Mais nous ne sommes pas bien compris je pense.
par récurrence, c'est bon. Je n'ai pas de problème mais merci qd même.
Ce que je cherche une démonstration pour l'égalité cité.
Je m'explique:
S = U1+ U2 +.......Un et on peu écrire S= Un+Un-1......U1
Par addition: 2S=(u1+Un)+(u1+Un)...........+(U1+Un)
n fois
d'où S = nbre de termes * (U1 + Un)/2
Or le nbre de termes = n
U1 = 1 et un n
ainsi S = n(n+1)/2
donc je voudrais savoir comment de la même manière on trouve:
1^2 + 2^2 .......n^2 = n(n+1)(2n+1)/6.
Je pense que ma question est claire. Merci de votre aide.
matecha matechaMerci camélia pour la réponse. Mais nous ne sommes pas bien compris je pense.
par récurrence, c'est bon. Je n'ai pas de problème mais merci qd même.
Ce que je cherche une démonstration pour l'égalité cité.
Je m'explique:
S = U1+ U2 +.......Un et on peu écrire S= Un+Un-1......U1
Par addition: 2S=(u1+Un)+(u1+Un)...........+(U1+Un)
n fois
d'où S = nbre de termes * (U1 + Un)/2
Or le nbre de termes = n
U1 = 1 et un n
ainsi S = n(n+1)/2
donc je voudrais savoir comment de la même manière on trouve:
1^2 + 2^2 .......n^2 = n(n+1)(2n+1)/6.
Je pense que ma question est claire. Merci de votre aide.
Suites Posté le 22-06-08 à 20:11
Posté le 22-06-08 à 20:11Posté par raymond raymond
Bonjour.
Avec la suite 1² + 2² + ... + n², tu vérifies qu'en l'écrivant à l'envers et en ajoutant, tu ne trouves pas une somme constante comme pour la suite 1 + 2 + ... + n.
Donc, cette méthode n'est pas applicable pour la somme des carrés.
raymond raymond Bonjour.
Avec la suite 1² + 2² + ... + n², tu vérifies qu'en l'écrivant à l'envers et en ajoutant, tu ne trouves pas une somme constante comme pour la suite 1 + 2 + ... + n.
Donc, cette méthode n'est pas applicable pour la somme des carrés.
Suites Posté le 22-06-08 à 20:26
Posté le 22-06-08 à 20:26Posté par matecha matecha
Bonjours,
Effectivement, l'exemple que j'ai donné juste pour me faire comprendre que la formule par récurrence est vérifié mais moi je veux comment on est arrivé à écrire cette relation de n(n+1)(/2n+1)6.
En plus , si la méthode de la somme des carrée n'est pas applicable il ya surement une manière pour démontrer cette relation.
Je fais confiance à votre compétence pour m'aider à trouver comment on démontre cette somme des carrés. Merci .
Je vous dis à plus tard et à très bientôt. On m'appelle.Merci pour tout ce que vous nous apprenez vos autres correcteur et je ne doute pas que vous êtes des profs de haut niveau. Merci encore et au revoir.
matecha matechaBonjours,
Effectivement, l'exemple que j'ai donné juste pour me faire comprendre que la formule par récurrence est vérifié mais moi je veux comment on est arrivé à écrire cette relation de n(n+1)(/2n+1)6.
En plus , si la méthode de la somme des carrée n'est pas applicable il ya surement une manière pour démontrer cette relation.
Je fais confiance à votre compétence pour m'aider à trouver comment on démontre cette somme des carrés. Merci .
Je vous dis à plus tard et à très bientôt. On m'appelle.Merci pour tout ce que vous nous apprenez vos autres correcteur et je ne doute pas que vous êtes des profs de haut niveau. Merci encore et au revoir.
Suites Posté le 23-06-08 à 01:32
Posté le 23-06-08 à 01:32Posté par matecha matecha
Bonjours,
Est-ce que je peux déduire que la somme des carrés qui est égale à
n(n+1)(2n+1)/6 ne se démontre pas ? si oui alors je vais l'admettre et ce n'est pas la peine que je cherche.
sinon expliquer moi le comment faire s'il vous plait.Merci.
matecha matechaBonjours,
Est-ce que je peux déduire que la somme des carrés qui est égale à
n(n+1)(2n+1)/6 ne se démontre pas ? si oui alors je vais l'admettre et ce n'est pas la peine que je cherche.
sinon expliquer moi le comment faire s'il vous plait.Merci.
Suites Posté le 23-06-08 à 10:44
Posté le 23-06-08 à 10:44Posté par raymond raymond
On cherche un polynôme du troisième degré P(X) = aX3 + bX² + cX + d tel que :
X² = P(X+1) - P(X). (I)
Un calcul par identification donne
P(X) =
X3 - 
X² + 
X = X(X-1)(2X-1)
Alors, on remplaçe successivement X par 1, 2, ... , n dans (I):
1² = P(2) - P(1)
2² = P(3) - P(2)
.
.
.
n² = P(n+1) - P(n)
Puis on ajoute toutes ces égalités. Après simplifications, cela donne :
1² + 2² + ... + n² = P(n+1) - P(1).
En faisant le calcul, tu trouveras bien la formule demandée.
raymond raymond On cherche un polynôme du troisième degré P(X) = aX3 + bX² + cX + d tel que :
X² = P(X+1) - P(X). (I)
Un calcul par identification donne
P(X) =
Alors, on remplaçe successivement X par 1, 2, ... , n dans (I):
1² = P(2) - P(1)
2² = P(3) - P(2)
.
.
.
n² = P(n+1) - P(n)
Puis on ajoute toutes ces égalités. Après simplifications, cela donne :
1² + 2² + ... + n² = P(n+1) - P(1).
En faisant le calcul, tu trouveras bien la formule demandée.
re : Suites Posté le 23-06-08 à 10:50
Posté le 23-06-08 à 10:50Posté par lafol lafol
Bonjour
on part de^3=x^3+3x^2+3x+1)
on l'écrit avec x=1, x=2, ... x=n :
^3=n^3+3n^2+3n+1)
on additionne, en simplifiant
qu'on retrouve des deux côtés :
^3 = 1 + 3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n)
on remplace 1+2+3+...+n par n(n+1)/2 et on résout l'équation obtenue :
^3 = 1 + 3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3\fr{n(n+1)}{2}+n \\ (n+1)^3 - 1 -3\fr{n(n+1)}{2}-n= 3(1^2+2^2+3^2+...+n^2) \\ (n+1)\((n+1)^2-1-3\fr{n}{2}\)=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2) \\ (n+1)\(n^2+2n+1-1 -3\fr{n}{2}\)=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2) \\ n(n+1)(2n+1)/2 = 3(1^2+2^2+3^2+...+n^2))
y'a plus qu'à tout diviser par 3 ...
lafol lafol Bonjour
on part de
on l'écrit avec x=1, x=2, ... x=n :
on additionne, en simplifiant
on remplace 1+2+3+...+n par n(n+1)/2 et on résout l'équation obtenue :
y'a plus qu'à tout diviser par 3 ...
(et plus efficace)re : Suites Posté le 23-06-08 à 10:57
Posté le 23-06-08 à 10:57Posté par raymond raymond
Bonjour lafol.
Nos deux approches sont différentes, donc matecha trouvera dans nos deux topics de quoi satisfaire sa curiosité.
Bien cordialement RR.
raymond raymond Bonjour lafol.
Nos deux approches sont différentes, donc matecha trouvera dans nos deux topics de quoi satisfaire sa curiosité.
Bien cordialement RR.
suites Posté le 23-06-08 à 15:13
Posté le 23-06-08 à 15:13Posté par matecha matecha
bonjour à toi Raymond ainsi que la fol,
merci pour la réponse; Je viens de la découvrir à l'instant. Je vais la voir et si je n'arrive pas à comprendre je vous fais signe.Et encore merci .Peut être à tout à leur.
matecha matechabonjour à toi Raymond ainsi que la fol,
merci pour la réponse; Je viens de la découvrir à l'instant. Je vais la voir et si je n'arrive pas à comprendre je vous fais signe.Et encore merci .Peut être à tout à leur.
suites Posté le 23-06-08 à 16:11
Posté le 23-06-08 à 16:11Posté par matecha matecha
Bonjour,
Pour moi,qui ne connait pas, La méthode de lafol me parait plus clair et accessible pour la compréhension. Merci lafol.
Pour ta méthode Raymond, je pense que je ne suis pas à la hauteur, je la trouve géniale mais non évidente. Car pour passer par le polynôme ce n'ets pas donné à
tout le monde sauf au correcteur du site que je salue vivement.
en suite, raymond, si j'ai demandé la démonstration, c'est parce que je donne des cours particuliers et pour moi c'est une connaissance importante au cas où un prof demande aux élèves une éventuelle démonstration.
en tout cas merci beaucoup à toi et à lafol qui,m'a déjà ravi de sa superbe démonstration d'un problème que, à l'époque, même mon neveu qui était en prépas n'arrivait pas à être explicite sur la question. Il a utilisé l'éventualité que je ne maitrise pas bien d'ailleurs.Merci j'ai besoin de vos conseil je vais vous contacter sur espace prof. A plus et encore merci.
matecha matechaBonjour,
Pour moi,qui ne connait pas, La méthode de lafol me parait plus clair et accessible pour la compréhension. Merci lafol.
Pour ta méthode Raymond, je pense que je ne suis pas à la hauteur, je la trouve géniale mais non évidente. Car pour passer par le polynôme ce n'ets pas donné à
tout le monde sauf au correcteur du site que je salue vivement.
en suite, raymond, si j'ai demandé la démonstration, c'est parce que je donne des cours particuliers et pour moi c'est une connaissance importante au cas où un prof demande aux élèves une éventuelle démonstration.
en tout cas merci beaucoup à toi et à lafol qui,m'a déjà ravi de sa superbe démonstration d'un problème que, à l'époque, même mon neveu qui était en prépas n'arrivait pas à être explicite sur la question. Il a utilisé l'éventualité que je ne maitrise pas bien d'ailleurs.Merci j'ai besoin de vos conseil je vais vous contacter sur espace prof. A plus et encore merci.
Suites Posté le 24-06-08 à 11:03
Posté le 24-06-08 à 11:03Posté par matecha matecha
Bonjour,
je voudrais étudier le convergence d'une suite mais je ne vois pas comment procéder si je n'ai pas Un en fonction de n ?
voilà l'exercice:
soit U0 = 6
Pour tout n entier naturel, Un+1 = 1/4Un - 3
1)Pour étudier la limite de Un vers l'infini, faut-il obligatoirement calculer Un en fonction de n ?
2)Si oui, comment faire ?
U0 = 6; U1 = -1/2; .....Un =1/4Un-1 -3. Je suis bloqué!
3)Est ce que toutes suites peut s'écrire en fonction de n ?
4)Est ce qu'une suite, si elle n'est pas constante, est:
soit arithmétique
Soit géométrique
Au niveau Terminal S bien sûr.
Merci beaucoup.
matecha matechaBonjour,
je voudrais étudier le convergence d'une suite mais je ne vois pas comment procéder si je n'ai pas Un en fonction de n ?
voilà l'exercice:
soit U0 = 6
Pour tout n entier naturel, Un+1 = 1/4Un - 3
1)Pour étudier la limite de Un vers l'infini, faut-il obligatoirement calculer Un en fonction de n ?
2)Si oui, comment faire ?
U0 = 6; U1 = -1/2; .....Un =1/4Un-1 -3. Je suis bloqué!
3)Est ce que toutes suites peut s'écrire en fonction de n ?
4)Est ce qu'une suite, si elle n'est pas constante, est:
soit arithmétique
Soit géométrique
Au niveau Terminal S bien sûr.
Merci beaucoup.
re : Suites Posté le 24-06-08 à 12:50
Posté le 24-06-08 à 12:50Posté par lafol lafol
Bonjour
si c'est au niveau terminale S, tu peux faire étudier la suite définie par
, montrer qu'elle est géométrique (de raison 1/4, mais ça l'élève peut le trouver seul), donc exprimer 
en fonction de n
ensuite, en additionnant toutes les égalités pour n = 0 à N-1, on en déduit 
en fonction de N....
cette suite U est "arithmético-géométrique" : un peu arithmétique de raison -3 un peu géométrique de raison 1/4, mais ni l'un ni l'autre
et il existe bien d'autres sortes de suites (exemple : la suite des décimales de pi : 3 1 4 1 5 9 2 etc)
lafol lafol Bonjour
si c'est au niveau terminale S, tu peux faire étudier la suite définie par
ensuite, en additionnant toutes les égalités
cette suite U est "arithmético-géométrique" : un peu arithmétique de raison -3 un peu géométrique de raison 1/4, mais ni l'un ni l'autre
et il existe bien d'autres sortes de suites (exemple : la suite des décimales de pi : 3 1 4 1 5 9 2 etc)
re : Suites Posté le 24-06-08 à 12:52
Posté le 24-06-08 à 12:52Posté par lafol lafol
sinon, tu peux aussi lui faire utiliser la fonction f définie par f(x) = (x/4)-3, et étudier par récurrence les variations etc (un graphique avec la représentation de f et la première bissectrice permet de se faire une première idée du comportement de la suite)
lafol lafol sinon, tu peux aussi lui faire utiliser la fonction f définie par f(x) = (x/4)-3, et étudier par récurrence les variations etc (un graphique avec la représentation de f et la première bissectrice permet de se faire une première idée du comportement de la suite)
Suites Posté le 24-06-08 à 16:13
Posté le 24-06-08 à 16:13Posté par matecha matecha
bonjour,
pour Un+1 = 1/4Un-3 Avec U0 = 6
comme tu m'as montré, lafol: soit Vn = Un+1 - Un
Vn = 1/4Un - 3 - 1/4Un-1 + 3 = 1/4(Un-Un-1) = 1/4Vn-1
d'où Vn est une suite géométrique de raison 1/4.Merci.
Ensuite,
V0 = U1 - U0
V1 = U2 - U1
.
.
.
Vn = Un+1 - Un
Vn-1 = Un - Un-1
Vn-1 = Un - U0
Un = Vn-1 + U0 or Vn-1 = 4Vn et Un = 4Vn + U0
Comme Vn est une suite géométrique alors Vn = V0(1/4)^n
Donc Un = 4V0(1/4)^n + U0.
Je ne sais pas si je suis dans le bon chemin ou il faut que tu me guide.
Je ne suis pas convaincu de ma démarche car un prof m'a confirmé que
la limites de Un qd n
infin = 4
Donc la suite converge l = 4
Pour le moment je vois pas trop comment trouver l ?
Merci de votre aide et à tout à l'heur. Dans 30 min. merci.
matecha matechabonjour,
pour Un+1 = 1/4Un-3 Avec U0 = 6
comme tu m'as montré, lafol: soit Vn = Un+1 - Un
Vn = 1/4Un - 3 - 1/4Un-1 + 3 = 1/4(Un-Un-1) = 1/4Vn-1
d'où Vn est une suite géométrique de raison 1/4.Merci.
Ensuite,
V0 = U1 - U0
V1 = U2 - U1
.
.
.
Vn = Un+1 - Un
Vn-1 = Un - Un-1
Vn-1 = Un - U0Un = Vn-1 + U0 or Vn-1 = 4Vn et Un = 4Vn + U0Comme Vn est une suite géométrique alors Vn = V0(1/4)^n
Donc Un = 4V0(1/4)^n + U0.
Je ne sais pas si je suis dans le bon chemin ou il faut que tu me guide.
Je ne suis pas convaincu de ma démarche car un prof m'a confirmé que
la limites de Un qd n
infin = 4Donc la suite converge l = 4
Pour le moment je vois pas trop comment trouver l ?
Merci de votre aide et à tout à l'heur. Dans 30 min. merci.
re : Suites Posté le 27-06-08 à 00:19
Posté le 27-06-08 à 00:19Posté par matecha matecha
Bonsoir lafol,
Je pense que je n'aurais pas dû écrire dans l'autre topic. Encore désolé.
matecha matechaBonsoir lafol,
Je pense que je n'aurais pas dû écrire dans l'autre topic. Encore désolé.
re : Suites Posté le 27-06-08 à 00:23
Posté le 27-06-08 à 00:23Posté par lafol lafol
alors sur ce graphique, on a représenté en trait plein f telle que f(x) = -3 +( 4/x ), en pointillés la droite d'équation y=x, et quelques termes de la suite
le graphique suggère de montrer que la suite est décroissante et minorée. on saura alors qu'elle converge, et en faisant tendre n vers l'infini dans la relation u_(n+1) = f(u_n), on aura la limite comme solution de l'équation f(x)=x.
lafol lafol alors sur ce graphique, on a représenté en trait plein f telle que f(x) = -3 +( 4/x ), en pointillés la droite d'équation y=x, et quelques termes de la suite
le graphique suggère de montrer que la suite est décroissante et minorée. on saura alors qu'elle converge, et en faisant tendre n vers l'infini dans la relation u_(n+1) = f(u_n), on aura la limite comme solution de l'équation f(x)=x.
re : Suites Posté le 27-06-08 à 00:27
Posté le 27-06-08 à 00:27Posté par matecha matecha
Bonsoir lafol,
Avant tout, je m'excuse encore une fois d'avoir utilisé le topic de l'autre.
Mais sans que je le veuille. Et merci de votre compréhension.
Est-ce que ce topic avait vraiment disparu ou bien c'était quoi?
voilà lafol,
sinon, tu peux aussi lui faire utiliser la fonction f définie par f(x) = (x/4)-3, et étudier par récurrence les variations etc (un graphique avec la représentation de f et la première bissectrice permet de se faire une première idée du comportement de la suite.
La fonction f(x) = x/4 - 3 je peux l'étudier. Mais par récurrence, je ne comprends pas bien.
matecha matechaBonsoir lafol,
Avant tout, je m'excuse encore une fois d'avoir utilisé le topic de l'autre.
Mais sans que je le veuille. Et merci de votre compréhension.
Est-ce que ce topic avait vraiment disparu ou bien c'était quoi?
voilà lafol,
sinon, tu peux aussi lui faire utiliser la fonction f définie par f(x) = (x/4)-3, et étudier par récurrence les variations etc (un graphique avec la représentation de f et la première bissectrice permet de se faire une première idée du comportement de la suite.
La fonction f(x) = x/4 - 3 je peux l'étudier. Mais par récurrence, je ne comprends pas bien.
re : Suites Posté le 27-06-08 à 00:36
Posté le 27-06-08 à 00:36Posté par matecha matecha
D'accord, et merci. c'était très rapide.
J'ai compris. Vérifier pour Uo, U1 et supposer que c'est vrai pour Un...
Je vois très bien ce que tu voulais dire par récurrence.
vraiment, merci lafol.Et comme j'espère avoir ta compétence pour pouvoir moi aussi maitriser les maths et aider ceux qui en ont besoin. Tu es une pro.
Je te souhaite une agréable nuit et à bientôt.
matecha matechaD'accord, et merci. c'était très rapide.
J'ai compris. Vérifier pour Uo, U1 et supposer que c'est vrai pour Un...
Je vois très bien ce que tu voulais dire par récurrence.
vraiment, merci lafol.Et comme j'espère avoir ta compétence pour pouvoir moi aussi maitriser les maths et aider ceux qui en ont besoin. Tu es une pro.
Je te souhaite une agréable nuit et à bientôt.
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