détermination des groupes d'ordres n

Posté par leflamenquiste leflamenquiste

bonjour à tous
J'ai un petit soucis pour la fin d'un exo :
Dans les premières questions on traite les cas n=2,3,4,5,7 cela je les ai traité et dans la dernière questions on étudie le cas n=6 on nous dit

Démontrer que si G (donc le groupe d'ordre 6) est abélien alors il est isomorphe à
Démontrer qui si G n'est pas abélien alors il est isomorphe à S₃

Je pense qu'il faut déduire de la commutativité (ou non commutativité) que G possède un élément d'ordre 6 (ou non ) ainsi on en déduirait que G est cyclique pour le cas abélien donc isomorphe à ou que G est engendré par un élément d'ordre 2 et un élément d'ordre 3 pour le cas non abélien donc isomorphe à S₃, mais j'ai du mal à le montrer.
merci d'avance pour votre aide

Posté par romu romu

Salut,

on pourrait poser l'énoncé autrement, pour éviter de s'embêter avec des questions de commutativité.

"Si G admet un élément d'ordre 6 il est isomorphe à Z/6Z, sinon il est isomorphe à S3".

au final on aura tout de même répondu à la question.

Posté par leflamenquiste leflamenquiste

salut romu
Ben justement c'est ce que j'aimerais montré que lorsque G est abélien alors il possède un élément d'ordre 6 sinon il ne possède que des éléments d'ordres 2 et 3

Posté par romu romu

Tu supposes que G n'est pas cyclique, donc ses éléments sont tous d'ordre .

Il faut montrer que admet un élément d'ordre 3 (facile) et un élément d'ordre 2 (moins facile), et ensuite montrer qu'il est isomorphe à (encore moins facile).

Posté par leflamenquiste leflamenquiste

ok merci romu je vais essayer de faire tout

Posté par romu romu

attends je me suis gouré.

Plutôt faire comme ça:

On prend un groupe G d'ordre 6.

1) Montrer qu'il admet un élément d'ordre 2 et un élément d'ordre 3;

2) si G est abélien, montrer qu'il est cyclique,

3) si G n'est pas abélien montrer que G est isomorphe à en se rappelant que S^3 est caractérisé par les relations " avec d'ordre 2, tex]b[/tex] d'ordre 3 et ".

Pour plus de précisions tu peux regarder sur ce topic (la réponse d'Homotopie donnée le 25/02/2008 à 16h27 est un plan d'attaque beaucoup plus précis).

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Il faut montrer que G admet un élément a d'ordre 3 (facile) et un élément b d'ordre 2 (moins facile) >> Ben 6=2*3 donc d'après Sylow...
Non?

Posté par romu romu

salut Ayoub,

les théorèmes de Sylow ne sont pas au menu.

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Ah effectivement dans ce cas... le plat risque d'être plus consistant que je ne pouvais le penser.

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Un bon moyen de contourner Sylow dans les cas "très faciles" c'est de démontrer que si un groupe fini n'a que des éléments d'ordre 2, il a 2ⁿ éléments.

La seconde étape est de montrer que pour tout diviseur premier p de l'ordre du groupe il existe un élément d'ordre p; théorème superbe dû à Cauchy qui utilise l'équation des classes dans un cas beaucoup plus facile que la démonstration de Sylow.

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Cauchy... C'est de l'artillerie lourde ça, autant utiliser directement Sylow non?

Posté par Camélia Camélia

Non, c'est du très commode... Bien qu'en cherchant bien on doit pouvoir le trouver sur le site, je te fais un nouveau topic.

Posté par romu romu

Bonjour Camélia

Posté par Camélia Camélia

Bonjour romu