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#msg1920915 Posté le 22-06-08 à 20:08
Posté par Profilrobby3 robby3

Bonsoir tout le monde, j'ai quelques difficultés avec cet exercice...

Citation :
Soit X une var
On dit que X a une loi stable si pour tout n\ge 1 et pour toute suite (X_1,...,X_n) de var indépendantes et de meme loi que X, il existe des constantes a_n>0 et b_n telles que
S_n=\Bigsum_{k=1}^n X_k et a_n.X+b_n
suivent la meme loi
Vérifier que si X suit la loi exponentielle E(\lambda) avec \lambda>0
alors X n'est pas de loi stable
Montrer que si X suit la loi Normale N(n,\sigma^2) avec \sigma^2 alors X est de loi stable
Finalement, proposer un autre exemple de loi stable.


>il me semble que la somme de variable aléatoire indépendante suivant la loi exponetielle de parametre \lambda suit une loi expo de parametre n.\lambda.
et je comprend pas comment répondre à la question?

Merci d'avance!
re : loi stable#msg1921010 Posté le 22-06-08 à 22:26
Posté par ProfilPIL PIL

Bonsoir Robby,

La somme de n va indépendantes de loi exponentielle de paramètre   est une va de loi gamma de paramètres et n, de densité

3$\rm f(x) = \frac{\lambda^n}{\Gamma(n)} x^{n-1}e^{-\lambda x}

Cela doit permettre de répondre à la première question !
re : loi stable#msg1921024 Posté le 22-06-08 à 22:58
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Je complète le sujet, si je puis me permettre :

Citation :
1) Montrer que, si \Large{X\sim\mathcal{E}(\lambda)} avec \Large{\lambda>0} alors \Large{X} n'est pas de loi stable.

2) Montrer que, si \Large{X\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)} avec \Large{\sigma^2>0} alors \Large{X} est de loi stable.

3) Si \Large{X} est de loi stable, de moyenne \Large{m} et variance finie \Large{\sigma^2>0}, déterminer les coefficients \Large{a_n,\,\,b_n}.


Je regarde le petit 1), qui est exactement ce que donne PIL comme exemple. Par contre, je ne connais pas la loi gamma.
re : loi stable#msg1921030 Posté le 22-06-08 à 23:04
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

(dans le 2), remplacer le 0 par m)
re : loi stable#msg1921036 Posté le 22-06-08 à 23:17
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Est-ce que l'on a construit la loi Gamma à partir de la somme de loi exponentielle, ou trouve-t-elle son origine ailleurs ?
re : loi stable#msg1921064 Posté le 22-06-08 à 23:53
Posté par Profilrobby3 robby3

en fait j'ai toujours pas saisi comment on montré que
qu'il n'existait ni a_n ni b_n...en fait je comprend pas trop les questions
re : loi stable#msg1921083 Posté le 23-06-08 à 00:59
Posté par ProfilPIL PIL

Bonsoir,

Si X est une va de loi exponentielle de paramètre , sa densité est f(x) = e-x pour x0. Si a>0 et b sont des constantes, la va Y = aX + b admet pour densité la fonction g(y) définie pour yb par

3$\rm g(y) = \frac{1}{a} f(\frac{y-b}{a}) = \frac{\lambda}{a} e^{-\lambda(\frac{y-b}{a})

et qui sera toujours (quels que soient a et b) différente de la distribution (,n). D'accord ?

Les choses deviennent plus claires en montrant que la loi normale est stable !
re : loi stable#msg1921147 Posté le 23-06-08 à 10:38
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Si \Large{Y=aX+b} j'arrive à montrer que \Large{f_Y(y)=\frac{\lambda}{a}exp(\frac{-\lambda(y-b)}{a}).


En revanche, je ne vois pas comment déterminer \Large{f_{S_n}} comme dans ton post de 22:26.
re : loi stable#msg1921186 Posté le 23-06-08 à 11:04
Posté par Profilrobby3 robby3

OK PIL!!
là c'est plus clair pour moi...
H_aldnoer...il eme semble que c'est un produit de convolution...essaye pour 2...
re : loi stable#msg1921216 Posté le 23-06-08 à 11:24
Posté par Profilrobby3 robby3

j'essaye de le faire pour la loi N(0,1):

soit \large X\sim N(0,1) et \large Y\sim N(0,1) \\
alors
\large f_{(X,Y)}(x,y)=\frac{1}{2\pi}exp(-\frac{x^2+y^2}{2})

ensuite je regarde la var \large Z=aX+b...c'est clairement une var gaussienne tel que:

\large E[Z]=aE[X]+b \\ V[Z]=a^2.V[V]

donc pour \large b=0 et \large a=1 ça fonctionne,sauf erreur.

Ensuite,
si \large X\sim N(m,\sigma^2) et \large Y\sim N(m,\sigma^2)

on a X+Y est une var gaussienne,d'espérance 2m et de variance 2\sigma^2

alors \large Z=aX+b a pour espérance \large am+b et variance \large a^2.\sigma^2

donc j'ai:

\large a.m+b=2.m \\ a^2=2

donc a=\sqrt{2} et b=m.(2-\sqrt{2})

est-ce que je répond correctement aux questions??
re : loi stable#msg1921261 Posté le 23-06-08 à 11:56
Posté par ProfilPIL PIL

Bonjour,

H_aldnoer, Robby te donne le bon conseil ...

Robby, c'est juste, tu as compris ! Si tu veux bien y réfléchir, ce résultat est lié à la propriété qu'on exploite quand on utilise des tables de la loi normale :  si X est une va N(m,2) alors la va réduite  X* = (X-m)/ = (1/)X -(m/) suit la loi N(0,1).
re : loi stable#msg1921266 Posté le 23-06-08 à 12:00
Posté par Profilrobby3 robby3

oui, je me disais bien que y'avait un lien avec ce truc là...c'est comme quand X suit la loi N(0,1) alors  \sigmaX+msuit la loi N(m,\sigma^2)...c'est du meme tonneau

il faut que je trouve un autre exemple de loi stable??
j'y réfléchis
re : loi stable#msg1921306 Posté le 23-06-08 à 12:19
Posté par Profilrobby3 robby3

euh en fait par intuition je pense que la loi de Cauchy convient(car la densité est une fonction paire donc les var sont symétriques,un peu comme dans la loi N(0,1)...)

mais déjà, si X\sim C(1) et Y\sim C(1)
on a \large f_X(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)} \\ f_Y(y)=\frac{1}{\pi(1+y^2)}

mais pour déterminer la loi de X+Y, c'est un produit de convolution:

\large \Bigint_R f_X(x).f_Y(y-x) dx=\frac{1}{\pi^2} \Bigint_R \frac{1}{1+x^2}.\frac{1}{1+(y-x)^2} dx
je suis un peu coincé
re : loi stable#msg1921395 Posté le 23-06-08 à 13:27
Posté par ProfilPIL PIL

Pour calculer ton produit de convolution, pourquoi pas la transformaton de Fourier ?
re : loi stable#msg1921462 Posté le 23-06-08 à 14:20
Posté par Profilrobby3 robby3

la transformation de fourier??
je crois que j'ai pas saisi là?
re : loi stable#msg1921492 Posté le 23-06-08 à 14:49
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Si je prend \Large{X_1\sim\mathcal{E}(\lambda)} et \Large{X_2\sim\mathcal{E}(\lambda)}, comment détermine-t-on la loi de \Large{X_1+X_2} ?!?
re : loi stable#msg1921517 Posté le 23-06-08 à 15:08
Posté par Profilrobby3 robby3

tu dis soit f_{X_1}(x) la densité de X_1
et f_{X_2}(y) la densité de X_2

alors la densité de X_1+X_2
est défini par \large \Bigint_0^{\infty} f_{X_1}(x).f_{X_2}(y-x) dx

je crois(j'ai pas fait les calculs)
re : loi stable#msg1921526 Posté le 23-06-08 à 15:17
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Donc la densité de \Large{X_1+X_2} est donnée par \Large{f_{X_1}\ast f_{X_2}} ? D'ou vient ce résultat ?
re : loi stable#msg1921533 Posté le 23-06-08 à 15:19
Posté par Profilrobby3 robby3

il est pas dans le cours mais j'ai bouquin ou ça fait partie du cours...je crois qu'on fait la meme chose(convolution avec des sommes pour la loi de Poisson)...
re : loi stable#msg1921546 Posté le 23-06-08 à 15:31
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ok, j'ai vu le résultat ici , donné par stokastik. Comme \Large{X_1} et \Large{X_2} sont indépendantes, la densité de \Large{X_1+X_2} est bien \Large{f_{X_1}\ast%20f_{X_2}}. Y'a-t-il une généralisation dans ton bouquin robby ? Par exemple pour déterminer la densité de \Large{S_n} directement, non ?
re : loi stable#msg1921559 Posté le 23-06-08 à 15:40
Posté par Profilrobby3 robby3

dans mon bouquin généralement, il convole une fois et aprés font une récurrence...
re : loi stable#msg1921641 Posté le 23-06-08 à 16:38
Posté par ProfilPIL PIL

Je m'explique concernant mon post de 13:27. Tu dois calculer le produit de convolution de ton post de 12:19.
Calcul direct : tu décomposes ta fraction en somme de fractions simples que tu intègres; c'est un peu long mais classique, j'ai fait le calcul, réponse : (1/) [2/(x2+4)], ce qui montre que si X et Y sont C(1) et indépendantes, alors X+Y est C(2).
Calcul indirect : j'ai dit "transformation de Fourier", j'aurais pu tout aussi bien dire "fonction caractéristique", c'est (presque) pareil et tu connais ça Robby : on transforme le produit de convolution en produit. Mais c'était une fausse bonne idée, le calcul de la fonction caractéristique se fait par la méthode des résidus ...
re : loi stable#msg1921648 Posté le 23-06-08 à 16:44
Posté par Profilrobby3 robby3

Citation :
j'ai dit "transformation de Fourier", j'aurais pu tout aussi bien dire "fonction caractéristique", c'est (presque) pareil et tu connais ça Robby

>ah oui,je vois maintenant ce que tu veux dire...

Citation :
le calcul de la fonction caractéristique se fait par la méthode des résidus ...

> ah oui!! ça sent pas bon les résidus(en plus je maitrise absolument pas du tout)

Citation :
tu décomposes ta fraction en somme de fractions simples que tu intègres

comment tu fais ça dans le cas présent??
c'est la méthode de décomposition en éléments simples?
re : loi stable#msg1921662 Posté le 23-06-08 à 16:55
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Euh, je bug sur le calcul du produit de convolution :
\Large{f_{X_1}\ast f_{X_2}(x)=\Bigint_{\mathbb{R}}f_{X_1}(x-y)f_{X_2}(y)dy=\lambda^2\Bigint_{0}^{+\infty}exp(-\lambda x)dy.

Y'a souci la non ?
re : loi stable#msg1921700 Posté le 23-06-08 à 17:27
Posté par ProfilPIL PIL

pour Robby : oui !

pour H_aldnoer : c'est bien la fonction à intégrer, mais les limites sont 0 et x, car fX1(x-y) est nulle si x-y<0 donc si y>x.
re : loi stable#msg1921701 Posté le 23-06-08 à 17:27
Posté par Profilrobby3 robby3

le soucis c'est les bornes de ton integrale...n'oublie pas  les indicatrices
re : loi stable#msg1921706 Posté le 23-06-08 à 17:31
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ah ouais ok!

Donc on trouve au final que \Large{f_{X_1}\ast%20f_{X_2}(x)=\lambda^2\Bigint_{0}^{x}exp(-\lambda%20x)dy=\lambda^2xexp(-\lambda x)} ?
re : loi stable#msg1921710 Posté le 23-06-08 à 17:36
Posté par Profilrobby3 robby3

je décompose \large \frac{1}{1+x^2}=\frac{1/2}{1-ix}+\frac{1/2}{1+ix}

par contre pour l'autre fraction, comment fais t-on??

1+(y-x)^2=0 <=> y=i+x
et ensuite??
re : loi stable#msg1921721 Posté le 23-06-08 à 17:43
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ah ok, donc \Large{X_1+X_2\sim \Gamma(2,\lambda)}. Par récurrence, \Large{S_n\sim \Gamma(n,\lambda)}.
re : loi stable#msg1921728 Posté le 23-06-08 à 17:47
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Pour conclure à la première question :

On montre que \Large{S_n\sim%20\Gamma(n,\lambda)} en montrant que \Large{f_{S_n}(x)=\lambda^2xexp(-\lambda x)}.

On montre que si \Large{Y=aX+b} alors \Large{f_Y(y)=\frac{\lambda}{a}exp(\frac{-\lambda(y-b)}{a}).

Ensuite, quelque soit \Large{a,b>0}, on a \Large{\lambda^2xexp(-\lambda x) \neq \frac{\lambda}{a}exp(\frac{-\lambda(y-b)}{a})}.

Donc pas de stabilité pour cette loi, c'est bien ça ?
re : loi stable#msg1921738 Posté le 23-06-08 à 17:52
Posté par ProfilPIL PIL

Bravo, H_aldnoer, tu y es !

Robby, c'est plus simple de ne pas introduire les racines complexes et de garder des dénominateurs irréductibles sur R; les éléments simples sont du type (Ax + B)/(x2+1)  et (Cx + D)/((x-y)2+1).
re : loi stable#msg1921749 Posté le 23-06-08 à 17:59
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Il fallait lire que \Large{f_{S_n}(x)=\frac{\lambda^n}{(n-1)!}x^{n-1}exp(-\lambda%20x)} plutôt non !
re : loi stable#msg1921756 Posté le 23-06-08 à 18:04
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Pour la question 2 :

\Large{S_n\sim\mathcal{N}(nm,n\sigma^2)} et \Large{Y=aX+b\sim\mathcal{N}(am+b,a^2\sigma^2).

Cela revient donc à résoudre le système \Large{\{nm=am+b\\n\sigma^2=a^2\sigma^2} qui admet pour solution \Large{a=\sqrt{n} et \Large{b=m(n-\sqrt{n}).

Donc il y a bien stabilité pour cette loi.
Au final, le 2) permet de répondre au 3) de mon post du 22/06/2008 à 22:58, avec \Large{a_n=\sqrt{n} et \Large{b_n=m(n-\sqrt{n}).

Est-ce correct ?
re : loi stable#msg1921774 Posté le 23-06-08 à 18:12
Posté par Profilrobby3 robby3

pour les décompositions en éléments simple, je seche...

et en plus meme en supposant celà, j'arrive pas à conclure pour savoir si la loi de Cauchy est stable ou non?
re : loi stable#msg1921954 Posté le 23-06-08 à 20:01
Posté par ProfilPIL PIL

Décomposition en éléments simples :

3$\rm \frac{1}{(x^2+1)((y-x)^2+1)} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{(y-x)^2+1}

tu multiplies par le dénominateur de gauche et turegroupes selon les puissances de x; tu obtiens :

   1  =  (B+D)x3 + (A-2By+C)x2 + (-2Ay+B(y2+1)+D)x + A(y2+1)+C;

tu identifies les coefficients, d'où un système linéaire pour A,B,C,D dont les solutions sont

3$\rm A = \frac{1}{y^2+4} B = \frac{2}{y(y^2+4)} C = \frac{3}{y^2+4} D = \frac{-2}{y(y^2+4)}

il te reste à intégrer ...
Pour la stabilité tu remarqueras que si X est C(a) alors (1/a)X est C(1).
re : loi stable#msg1921992 Posté le 23-06-08 à 21:38
Posté par Profilrobby3 robby3

ok,merci PIL pour la décomposition...

pour la stabilité, j'ai toujours pas pigé je crois

on a X+Y qui suit une loi ce Cauchy de parametre 2 si X et Y suivent tout deux une loi de Cauchy de parametre 1.

on a f_{X+Y}(x)=\frac{1}{\pi}.\frac{2}{x^2+4}

il faut que je trouve a et b tel que Y=aX+b \sim C(2)

et tu me dis de remarquer que si X\sim C(a) => \frac{1}{a}.X\sim C(1)

est ce que a=2 et b=0 convient??
je suis vraiment pas certain d'avoir compris
re : loi stable#msg1922008 Posté le 23-06-08 à 21:58
Posté par ProfilPIL PIL

C'est ça ! X+Y est C(2) et 2X est aussi C(2).
re : loi stable#msg1922015 Posté le 23-06-08 à 22:03
Posté par Profilrobby3 robby3

d'accord!!
it's so good!!
parfait!
Merci pour tout PIL, et encore une fois, merci de ta patience(parce que y'en faut beaucoup avec moi )
re : loi stable#msg1922036 Posté le 23-06-08 à 22:17
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Vous pensez quoi de mon post de 18:04 ?
re : loi stable#msg1922039 Posté le 23-06-08 à 22:18
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Et de celui de 17:59 !
re : loi stable#msg1922044 Posté le 23-06-08 à 22:21
Posté par Profilrobby3 robby3

pour 17:59 tu l'a montrer avec n=2.

pour 18:04,c'est ok je pense,j'avais fait à 11:24 un truc du meme genre
re : loi stable#msg1922049 Posté le 23-06-08 à 22:22
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Impeccable alors!
(ca va toucher le jackpot :p)
re : loi stable#msg1922059 Posté le 23-06-08 à 22:30
Posté par Profilrobby3 robby3

( il vaudrait mieux,parce que vu comment je me met minable pour réviser la proba...vaudrait mieux que ça paye!)
re : loi stable#msg1922073 Posté le 23-06-08 à 22:37
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

tiens, un truc pour te faire oublier un peu la proba! Ce gars la il est énorme, il est de chez nous!
Ce délire :
Je ne suis pas à l'euro, spécial dédicace à daniel trezeguet!
Allô Raymond! Mais qu'est-ce que tu fous!
Et celui la énorme : On va s'marrier! Dans un vestiaire à la fin de l'euro!

re : loi stable#msg1922080 Posté le 23-06-08 à 22:43
Posté par Profilrobby3 robby3

je connais je connais( il est trés bon!)

bon je te laisse,je vais regarder Grey's anatomy

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