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Séries numériques

Bonjour je suis en pleine révision des rattrapages d'analyse (L2) et je bloque sur certaines séries numériques de l'ancien partiel donc je cherche de l'aide pour m'aider a avancer, ainsi qu'une vérification des autres.

Soit a un paramètre réel. Etudier la nature des séries numériques de terme général :

a) sh n

b) 1 / (n² ln n)

c) cos n / (n² + sin² n)

d) sin 2n / ((n) ln (n+1) )

e) n ln (1+ 1/n^a)


Alors voila
a) sh n = (e^x-e^-x)/ 2
Le terme général ne converge pas vers 0 (la convergence vers 0 du terme général est une condition nécessaire de convergence) puisque sh n quand n .
Donc la série sh n est divergente

b)  1 / (n² ln n) est une série de Bertand avec = 2 et = 1, puisque >1 et = 1 la série converge

e) Soit Un = n ln (1+ 1/n^a)

pour = 0
Un = n ln (2)
Un donc diverge

pour > 0
Comme ln(1+u) u quand u 0 on a :
Un = n /n^a
Un converge

pour < 0
La limite de Un est infinie et la série Un diverge

Bonjour, Mariegoli

Tes réponses sont exactes pour les séries  a  et  b.
Pour la série   e, il y a une erreur dans le cas où a est strictement positif. Dans ce cas, u_n est équivalent à  , et cette série ne converge que pour a strictement supérieur à  3/2.

En ce qui concerne la série c:

Ce qui prouve que la série est absolument convergente.

Pour la série d:
Elle est convergente mais, pour le démontrer, il faut utiliser la transformation d'Abel; donc, l'étude de la convergence de cette série est d'une difficulté bien supérieure à celle des 4 autres séries. Je n'ai pas envie de le faire.

Merci pour tes réponses perroquet

Par contre je ne vois pas trop comment tu arrives pour le c) à ce résultat la, est ce que tu pourrais me détailler un peu plus ?
Pour la d) je vais voir la transformation d'Abel alors car j'en ai jamais entendu parlé.

    donc  

En multipliant, on obtient:  

Comme   converge (série de Riemann), converge , donc converge absolument, donc   converge.

Encore merci perroquet ton explication est très clair.