Diagonalisation avec paramètre

Posté par Mantis Mantis

Bonsoir à tous !

Voici ma matrice A :

/ 2 3 \
| 0 2 |
\ 0  1  2 /


Question principale :

Pour quelles valeurs de , A est-elle diagonalisable ?

Alors pour cela, je sais qu'il faut calculer det(A-I). Mais après que faire ? D'ailleurs je tombe sur un polynôme totalement dénué de sens..

Questions subsidiaires :

1. Donner le rang de A en fonction de
2. Sous quelle condition peut-on affirmer que BIm(A) ? Avec B un vecteur tq B = (1;2;1)

Pour celles-ci, j'ai trouvé qu'il fallait poser : Rang(A) = taille de la matrice où son déterminant est différent de 0. Et j'ai trouvé, si 3/2, alors rang = 3. Et ensuite ? Que faire pour la question 2. et la fin de la question 1. ?

Un grand merci d'avance

Posté par perroquet perroquet

Bonjour, Mantis

Je suppose que ta matrice est à coefficients dans R et qu'on te demande d'étudier la diagonalisabilité dans M_3(R). Dans ce cas ton polynôme caractéristique vaut:


Il n'est pas difficile de voir que le discriminant du trinôme du second degré qui intervient ci-dessus vaut        et est toujours strictement positif. On peut vérifier aussi que   x=2 n'est pas racine du trinôme du second degré     .

Donc, le polynôme caractéristique admet trois racines distinctes, ce qui prouve que la matrice A est diagonalisable.



En ce qui concerne le rang de A, tu as sans doute fait une erreur puisque le déterminant de A vaut   4a-4  et qu'il est non nul pour a différent de 1.
Pour  a=1, il est facile de vérifier que le rang de la matrice A vaut 2.

Enfin, pour la deuxième quesion subsidiaire, lorsque le rang de la matrice A vaut 3, tout vecteur B est dans   Im A.  Il ne reste plus qu'à étudier le cas où   alpha=1, et on vérifie que B ne peut pas appartenir à  Im A (un vecteur de l'image de A ayant forcément ses coordonnées y et z égales).

Posté par Mantis Mantis

Merci perroquet, je viens effectivement de refaire mes calculs après une petite nuit de repos, et tu as tout à fait raison.

Je viens de comprendre, encore un grand merci !