Forum : probabilités :
Las Vegas 21

Bonsoir à tous,

J'ai récemment vu le film "21" ("Las Vegas 21" en français je crois) et une notion de probabilités développée dans une scène du film m'a intriguée.

Dans la scène en question, un professeur prend son étudiant (surdoué) à part et lui dit:
"Vous êtes à la télévision et l'animateur vous montre trois portes, derrière une de ces portes se trouve une voiture et derrière les deux autres se trouvent des chèvres. Choisissez votre porte: la numéro 1,2, ou 3?"

L'étudiant choisit la numéro 1

Le prof répond:
"Bien, maintenant, pour augmenter un peu le suspense, l'animateur ouvre une autre porte, disons la porte numéro 3, derrière laquelle se trouve une chèvre. Il s'avance ensuite vers vous et vous demande: Alors, gardez vous votre choix ou changez vous pour choisir la porte numéro 2? Que vaut-il mieux faire"

Ce à quoi l'étudiant répond:

"Je change pour la porte numéro 2 car il y a eu un changement de variable et alors que la porte numéro 1 m'offre 1/3 chances de gagner la porte numéro 2 m'en offre 2/3"

Le prof le félicite en lui disant que c'est la bonne réponse.

Tout d'abord je trouve ce raisonnement absolument contre intuitif, n'ayant que des notions très basique sur les probabilités (jamais étudiées, juste lu des articles en traitant). J'ai donc essayé de trouver une explication mais elle ne me satisfait que très moyennement et elle serait difficile à expliquer sans le vocabulaire adéquat. J'ai donc décidé de vous faire partager mon incompréhension, et j'aimerais bien si vous comprenez cette énigme que vous me l'expliquiez car j'ai du mal avec ce raisonnement (et j'ai très peur qu'il soit faux et fiat rapidement par les scénaristes pour donner une impression de complexité).

J'aimerai avoir une réponse formalisée de la deuxième étape du raisonnement qui n'est certes pas très intuitive mais juste.
Cordialement.
Bonnes vacances à ceux qui ont la chance d'y être.
Alpha.

Bonsoir,

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alors déjà ce la est vrai
Demonstration
On suppose que la voiture est derrière la porte numéro 1:
La personne choisit une porte si il change ensuite d'avis, qu'elle est la probabilité qu'il ait la voiture ?
il choisit la porte 1( 1 chance sur 3), comme il change il aura forcément une chèvre.
il choisit la porte 2 ou 3 (2 chance sur 3), comme il change, et que l'autre porte ayant la chèvre est découverte, il aura forcément la voiture.
En changeant il a 2/3 d'avoir la voiture.
En concervant son choix, il aura 1/3 d'avoir la voiture

On peut le faire via un arbre de probabilité, ce sera plus simple.
Imaginons que la voiture soit dans la porte 2.
Il y a 1/3 de chances qu'il choisisse n'importe quelle porte.

S'il prend la 1. L'animateur ouvre la 3
--> Il change, il gagne
--> Il ne change pas, il perd.


S'il prend la 2. L'animateur ouvre la 1 ou la 3 (ca ne change rien).
--> Il change, il perd.
--> Il ne change pas, il gagne

S'il prend la 3. L'animateur ouvre la 1.
--> Il change, il gagne
--> Il ne change pas, il perd.

On voit que quand il change, il gagne 2 fois sur 3. Or on choisit avec une meme probabilité chacune des portes --> 2/3 de chances de gagner si on change.

heu c'est pas exactement ce que je viens de dire ?

Si...
Mais c'est plus beau avec les --> :p

mdrrrrr

n'oubliez pas que c'est un film(trés bien j'ai trouvé,avec une excellente bande son) mais bon...les maths aux ciné...c'est juste quand meme

Je crois qu'il y avait un autre film qui reprenait exactement le même principe, aidez-moi à le retrouver!

C'est dans un episode de Numb3rs (Numbers), lorsque l'acteur principal (le mathematicien), Charlie (David Krumholtz), pose le meme genre de question a des eleves dans une salle de classe, je m'en souviens très bien par contre le numero de l'episode je m'en souviens plus trop désolé...

Merci, je m'en souviens à présent

Il me semble que le prof du film comme l'élève s'est trompé! d'aprés mes souvenirs de probas en TS, il s'agit tout simplement d'un problème de probas conditionnelles. Si on note D, M, G respectivement les évènement "la voiture est derrière la porte de droite ", "la voiture est derrière la porte du milieu ", rt "la voiture est derrière la porte de gauche " on a au début p(D)=p(M)=p(G)=1/3. La personne qui choisit D a donc 33,33% de chance de gagner la voiture. De plus, aprés l'indication de l'animateur, on doit calculer p( D sachant nonG ) c'est à dire la proba que la voiture soit derriere D sachant qu'elle n'est pas derriere G. On a donc : p( D sachant nonG ) = p(D inter nonG)/p(nonG) = (1/3)/(2/3) = 1/3*3/2 = 1/2 = 50% car "D inter nonG" c'est la même chose que D puisque D est inclus dans nonG.
Un preuve supplèmentaire (bien qu'inutile avec ce qui précède) de l'erreur du prof et de l'élève est qu'en suivant leur raisonnement si la personne change en prenant M au lieu de D il a 66,66% de gagner la voiture, mais on aura aussi dans le cas où il avait choisit M au départ une proba de 66,66% en prenant D au lieu de M ce qui est absurde car aprés l'indication de l'animateur il n'y a que 2 cas possibles pour gagner M ou D et la somme de leur probas feraient plus de 100% !!!!!!
J'espère avoir été assez clair (surtout pour la première partie ...).

C'est un paradoxe très connu

Le film est chouette aussi !

Hello !

Vi le film est sympa, mais ça m'a fait rire quand le prof demandait à quoi servait la méthode de Newton, et que le copain du héros semblait être le seul à connaître la réponse (ça sert dans le non-linéaire) ^^

Sinon pour Numb3rs, Charlie veut tout mettre en équation, et ça en devient n'importe quoi ^^