Forum : topologie :
Choisir un réel sur deux uniformément

Bonjour

On note la mesure de Lebesgue.
Existe-t-il une partie mesurable A de telle que pour tous réels a et b tels que a < b on ait :



ce qui correspondrait au fait que A contient en gros "un réel sur deux".

On voit bien qu'il y a peu de chances pour que ce soit possible, mais comment le démontrer?

Merci

Fractal

Personne n'a d'idée?

Fractal

Salut!



On voit bien qu'il y a peu de chances pour que ce soit possible, mais comment le démontrer? >>> tu te trompe de nature du problème : il y a tellement de partie qui convienne qu'il est très difficile d'en choisir une... concretement on a bessoin de l'axiome du choix.

j'ai déja vu des constructions similaire : par exemple on peut construire un sous groupe de R/Z d'incide finie n, et le relever en un sous groupe de R, qui va vérifier la propriété que tu veux avec un n au lieux de 2.

j'ai plus ces constructions en tete, et c'est pas une heur pour les retrouver... mais en gros ca va etre des chose basé sur le lemme de zorn, donc t'aura un ensemble pas explicite du tous...

NB : j'avait l'air trés affirmatif dans mon post précedent, mais je suis pas sur de ce que j'avance en fait hein... notement sur le fait qu'il est possible de faire cela avec des parties mesurable en fait.

En même temps pour que l'énoncé ait un sens, il faut bien que la partie soit mesurable, non? (au moins que son intersection avec tout compact soit mesurable, je ne sais pas comment on appelle ça)
Et l'axiome du choix risque de donner quelque chose de pas trop trop mesurable...

Fractal

Ba l'axiom du choix va construire par exemple un sous groupe d'indice 2 dans R. en gros ca va etre un ensemble "homogène" et qui "contiens un réel sur deux", bref, un peu ce que tu veux. si en plus celui ci est mesurable il vérifie automatiquement ta proprieté sur les mesures. mais je sais pas si on peut construire un telle sous groupe mesurable, ou si un telle sous groupe est automatiquement mesurable par exemple... j'y réfléchit...

Hello,

Ca me rappelle ce topic: .

Mais je ne l'ai jamais lu jusqu'au bout, je sais pas si ça aide (je vais jeter un oeil dès à présent)

... j'ai jeté un oeil sur ledit topic mais sans plus. Rien de nouveau quant à vous ? C'est un très joli problème je trouve.

J'ai regardé aussi, mais je ne sais pas si on peut adapter cette construction d'ensembles de Cantor gras afin d'avoir une densité constante égale à 1/2.

Sinon rien de nouveau de mon côté malheureusement.

Fractal

Bonjour,

je pense que la réponse est "non".
En effet, supposons qu'une telle partie existe.
Alors peut être recouvert par des segments ouverts de longueur totale (en nombre dénombrable)
Maintenant l'intersection de avec chaque segment ouvert de longueur peut être recouvert par un nombre dénombrable de segments de longueur totale encore une fois.
Donc si l'on remplace chacun des segments ouverts avec ces nouveaux segments plus petits, on obtient un recouvrement ouvert de de longueur totale ce qui est une contradiction

Effectivement, ton raisonnement me semble tout à fait correct
Mais je n'arrive pas bien à voir ce qu'il se passe, on dirait que c'est vraiment l'argument du recouvrement dénombrable par des intervalles ouverts qui est la clé.

Fractal