Forum : analyse :
suite et série de fonctions

Bonjour je suis encore dans mes révisions, sur les suites et séries de fonctions cette fois ci. Je vous pose l'exo de mon ancien partiel que je suis en train de travailler et qui me pose (encore) problème, sur celui ci je bloque dès la première question... Donc si quelqu'un peut m'aider ou me dire sur quoi partir ca m'avancerai pas mal.

Pour chaque entier n1 on considère la fonction f_n: définie par f_n(x) = 1 / (n(1+nx²)) pour tout x.

1) Etablir que la suite de fonction (f_n)_n converge uniformément vers la fonction nulle sur
2) Déterminer le domaine D de convergence simple de la série de fonction f_n
3) La série de fonctions f_n converge-t-elle normalement sur R?
4) Soit un réel a > 0 fixé quelconque. Etablir la convergence normale de la série de fonctions f_n sur [a;+]. En déduire la continuité sur R\{0} de la fonction somme de la série de fonction f_n.

Bon vu l'heure et la fatigue apres une journée de math, je pense que c'est faux mais bon, je suis parti sur :
1) f_n(x) = 1 / (n(1+nx²)) = 1 / x²( n/x² + n²)
f_n(x) converge uniformément vers 0 sur R.

bonjour

n(nx²+1) = n²x²+n > n²x² puisque n>0 donc 1/(n(1+nx²) < 1/(nx)²

pour x->+oo fn(x), tout en étant positive, est inférieure à une fonction qui tend vers zéro

Merci mikayaou
J'essaie de continuer
La série f_n ne peut converger que si son terme général tend vers 0, ce qui montre l'inclusion D[0,+[

Quelqu'un peut m'aider a continuer un peu ?

Bonjour

Je suis désolé mais l'argument de mikayaou est erroné:

il faut commencer par majorer |fn(x)| par quelque chose d'indépendant de x qui tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

La majoration proposée ne permet donc pas de conclure.

En revanche, il est immédiat qu'on peut majorer |fn(x)| par 1/n qui fait l'affaire.


2)Ton argument est faux, on a vu que la suite tendait uniformément vers 0, donc point par point.

Si x = 0, fn(x)=fn(0)=1/n qui est le terme général d'une série divergente.

Si x est non nul, qui est le terme général d'une série convergente d'après Riemann.

Le domaine cherché est donc *.

n'hésite pas à corriger Tigweg, j'apprends encore

En fait ton argument ne prouve que la convergence simple (point par point) de la suite vers 0, mikayaou.

La convergence uniforme de f_n vers 0 signifie que le sup des écarts entre la courbe de f_n et l'axe des abscisses tend vers 0.

Or, avec ta majoration, on ne pouvait majorer que par 1 la distance entre l'axe des abscisses et le point d'abscisse x=1/n de f_n, ce qui n'est pas suffisant.

Merci pour vos réponses alors
La je termine les révisions mais apres 48h non stop je commence a mélanger, je vais me reposer un peu et ensuite retravailler ce que vous m'avez donné. Si pour finir vous avez des idées sur la suite n'hésitez pas a venir poster, et encore merci pour tout votre travail.

POur ma part, avec plaisir.

En ce qui concerne les questions 3 et 4, il faut commencer par étudier, à n fixé, la fonction f_n et déterminer son maximum sur R, puis sur [a;+[.

Erf je suis désolé mais meme comme ca j'y arrive pas la...

Que trouves-tu comme maximum de cette fonction (en fonction de n)?

Le maximum est 1/n pour x=0 ?

Exactement, en tout cas sur R.

Dire qu'il y a convergence normale signifie que la série de terme général sup {|f_n(x)|, x } converge, donc ici  que converge.

Ce n'est pas le cas, donc il n'y a pas CVN sur R.

A présent, quel maximum trouves-tu sur [a;+infini[ ?

sur [a;+infini[ je trouve 1/ (n²a²+n)

C'est juste aussi.Qu'en déduis-tu?

J'en déduis qu'il y a convergence normale de la série sur [a;+infini[

Oui, mais sais-tu le justifier?

On a x a d'où  fn(x) 1/ (n²a²+n)

Comme on a une majoration par une série convergente indépendant de x il y a convergence normale sur [a;+infini[

C'est plutôt

Pour justifier la convergence de la série il faut invoquer sa positivité et le fait qu'elle équivaut lorsque n tend vers l'infini a 1/(a²n²) qui est le t.g. d'une série convergente d'après Riemann.

D'accord, ben vraiment encore merci j'ai enfin compris 2notions sur lesquelles je butais.

Mais avec plaisir!

Tu vois comment conclure sur la continuité?

je suis pas sure.
Comme la convergence est normale sur [a;+infini[ la somme de la série est continue sur [a;+infini[ ?

Oui, car chaque f_n est continue (inverse d'un polynôme non nul sur cet intervalle).

Soit alors x > 0 fixé, il existe a > 0 compris entre 0 et x .

La somme f est continue sur [a;+infini[ donc aussi en x.

Ainsi f est continue en tout x > 0.



Pour tout réel x (positif ou négatif), on a f_n(x) = f_n(-x) donc la série converge encore simplement sur les négatifs.

La fonction somme f est nécessairement paire.Comme elle est continue sur les réels strictement positifs, elle l'est encore sur les réels strictement négatifs.

En résumé, elle est bien continue sur R*.

Tu m'as vraiment fait gagner plusieurs heures de travail. Je vais revoir tout ca demain avant mon partiel. En tout cas tu as vraiment tout expliqué de manière très clair. Je te dis encore une fois merci

Ah bon, tu as un partiel demain en plus??

Dans ce cas, je suis d'autant plus heureux d'avoir pu t'aider, bon courage!

Et oui demain, et j'ai 99% de chance de tomber sur le meme genre d'exo (avec un fn différent), du coup je serais pas perdu. Merci encore et bonne soirée.

De rien et bonne nuit, il vaudrait mieux te reposer un peu pour être en forme demain.