fonction exponentielle

Posté par karatetiger karatetiger

Bonjour je voudrais savoir comment démontré le théorème suivant.
Th: Soit f définie et dérivable sur I alors il existe une unique fonction tel que
f'=f
f(0)=1




Et autre chose comment démontré que pour tout x dans R et pour tout n dans Q
exp(nx)=exp(x)^n

Posté par Mariette Mariette

Bonjour,

ton théorème est bizarre : tu commences par "soit f" ensuite "il existe..."



Ensuite, pour démontrer l'existence, c'est les théorèmes sur les solutions d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1.

Au niveau terminale, on démontre juste l'unicité. Pour ça, on commence par montrer que si f est solution elle ne s'annule pas. Ensuite, on en prend deux, f et g, et on calcule la dérivée de f/g, pour montrer que f/g est constante.

exp(nx) : récurrence à partir de l'équation fonctionnelle, puis continuité.

Posté par karatetiger karatetiger

C'est vrai que dit comme cela c'est bizarre donc le théorème serait juste ta citation donc?

Posté par karatetiger karatetiger

Comment montre t'on que f ne s'annule pas? Je suis sur c'est bateau mais je ne vois pas le point de départ j'ai montré que f(x)f(-x) était constante mais je ne sais pas comment conclure ensuite. Merci

Posté par Mariette Mariette

ben du coup si f s'annule en a, alors f(a)f(-a)=0 et comme f(x)f(-x) est constante, elle est identiquement nulle, donc pour tout x f(x)=0 ou f(-x)=0 en particulier pour x=0 ce qui contredit la condition initiale.

Sinon, oui j'ai mis en citation le théorème correct.

Posté par karatetiger karatetiger

OK merci beaucoup

Posté par orelo orelo

Bonjour à tous,

j'aurais juste rajouter, pour montrer que l'exponentielle ne s'annule pas:

si f s'annule en a, f est l'unique solution de y'=y et f(a)= 0, or cette unique solution, c'est la fonction nulle (facile à démontrer), donc f serait la fonction nulle.

Posté par Mariette Mariette

Bonjour Orelo,

ta solution ne va pas puisque l'on utilise le fait qu'elle ne s'annule pas pour montrer l'unicité.

Posté par orelo orelo

ah d'accord, en fait moi je suis parti du fait que l'existence et l'unicité sont données par le théorème de Cauchy Lipschitz linéaire, et ensuite je démontre qu'elle ne s'annule pas pour la raison que j'ai donnée au dessus.

J'avais pas vu le problème comme ça, et j'ai surtout mal lu...

Ca permet de mettre uniquement l'existence de la fonction en pré requis de la leçon, est-ce qu'il vaut mieux que je change ?

Posté par karatetiger karatetiger

que dit le théorème de cauchy lipschitz?

Posté par orelo orelo

que le problème de cauchy:

y'=a(t) y + b(t)
y(t0)=y0

avec a et b 2 fonctions continues sur R admet une unique solution sur R

Posté par karatetiger karatetiger

Ok

Posté par Mariette Mariette

Honnêtement, pour le capes je ne sais pas trop, mais si ça peut vous aider, le programme de TS demande de prouver l'unicité, et de subodorer l'existence par une construction point par point par la méthode d'Euler. Ceci étant d'autant plus intéressant qu'en physique ils font aussi la méthode d'Euler.

Posté par orelo orelo

Ok, la méthode d'Euler, d'après mon bouquin de terminale S, c'est si f'=f existe, alors l'approximation affine au point a+h c'est :

f(a+h)=f(a)+f'(a)*h= f(a)*(1+h)

donc f(a+nh) = f(a)*(1+h)ⁿ

d'où avec a=0, f(a)=1 et h=1/n

f(1)=(1+1/n)ⁿ

donc en fait on montre juste que l'on peut plus ou moins créer cette fonction en réduisant le pas ?

Posté par Mariette Mariette

On montre qu'on peut tracer une approximation de cette fonction et qu'intuitivement, en réduisant le pas on doit s'approcher de la fonction elle-même.

par contre ce n'est pas f(1) simplement qui nous intéresse. L'idée est d'utiliser un tableur.

voici un exemple d'énoncé d'épreuve pratique :


la méthode d'Euler est utilisée page 18 (sujet 21)

Posté par orelo orelo

Merci, je vais regarder ça de plus près

Posté par chocwoman chocwoman

bonjour
donc si j'ai bien tout compris il suffit juste de citer le théorème de cauchy lipschitz pour réponte à la question de Karatetiger?
faut il savoir le démontrer?

Posté par karatetiger karatetiger

orelo prend le problème dans un autre sens donc c'est toi qui voit. Mais le théorème de cauchy lipschitz ne répond pas à ma question