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Analyse numérique, Convergence du schéma d'Euler Explicite

Bonjour,

Voici l'énoncé d'un problème d'analyse numérique.

Soit le système différentiel dans
x' = 2(x - ty)
y' = 2y

sous la condition initiale,
1) Déterminer la solution
2) On utilise la méthode d'Euler avec pas constant démarrant au temps . Soit le point atteint au temps

a) Ecrire la relation qui lie

b)Calculer explicitement en fonction de , , ,

c) Vérifier que la solution approchée converge sur



J'ai un gros soucis pour la convergence de la solution. je ne vois pas du tout comment m'y prendre..
Pour le reste voila comment j'ai procédé:

1) Pour la solution du système j'ai utilisé la méthode de la variation de la constante et j'ai trouvé:



et

2) En appliquant Euler explicite j'obtient cette relation:

et


b) Pour j'obtiens une suite geometrique de raison
et pour j'ai conjecturé une formule de récurrence qui me semble logique:



J'aimerais savoir comment montrer la convergance de la solution approchée vers la solution exacte du probleme