Graam-Schmidt et Hilbert
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Graam-Schmidt et Hilbert
Posté le 24-06-08 à 11:56
Posté par 
robby3 robby3
Bonjour tout le monde,
d'habitude je demande de l'aide, mais là j'ai besoin d'une correction s'il vous plait...
voilà le probleme:
ma question:
>pouvez me montrer s'il vous plait la derniere phrase:
je vous en remercie par avance.
robby3 robby3Bonjour tout le monde,
d'habitude je demande de l'aide, mais là j'ai besoin d'une correction s'il vous plait...
voilà le probleme:
Citation :
Si
est un élément de ![L_C^2([-1,1]\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}})](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?L_C^2([-1,1]\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}))
et que 
soit un représentant de , la formule de changement dans les integrales assure que:
|^2\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\Bigint_0^{\pi} |f-cos(\theta)|^2.\frac{sin(\theta)}{\sqrt{1-cos^2(\theta)}} d\theta=\Bigint_0^{\pi} |f(cos(\theta))|^2 d\theta<+\infty)
or les monomes trigonométriques réels pairs
,n\in N)
engendrent un K-sous-espace dense dans le K-sous-espace de)
constitué des classes de fonctions 
-periodiques paires à valeurs dans K
On en déduit que les classes des polynomes de Tchebychev)=cos(n\theta),n\in N)
engendrent un K sous espace dense de![L_K^2([-1,1],\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}})](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?L_K^2([-1,1],\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}))
et par conséquent compte tenu de leur orthogonalité deux à deux forment une base hilbertienne de ce K espace de hilbert.
Ce systeme peut se reconstruire via Graam-Schmidt à partir du systeme libre consituté des classes de monomes
...
Si
or les monomes trigonométriques réels pairs
engendrent un K-sous-espace dense dans le K-sous-espace de
On en déduit que les classes des polynomes de Tchebychev
engendrent un K sous espace dense de
Ce systeme peut se reconstruire via Graam-Schmidt à partir du systeme libre consituté des classes de monomes
ma question:
>pouvez me montrer s'il vous plait la derniere phrase:
je vous en remercie par avance.
re : Graam-Schmidt et Hilbert Posté le 24-06-08 à 12:33
Posté le 24-06-08 à 12:33Posté par lafol lafol 
Bonjour
c'est le même principe que pour faire une BON à partir d'une base quelconque en dim finie : on garde le premier vecteur, on enlève le bon multiple de ce premier au deuxième pour récupérer un deuxième orthogonal au premier (en fait, on enlève au deuxième son projeté sur la droite engendrée par le premier), puis on enlève au troisième son projeté sur le plan engendré par les deux premiers pour obtenir un vecteur orthogonal à chacun des deux premiers etc.
il ne reste qu'à diviser chacun par sa norme. (il existe une variante où on norme à chaque étape)
ici, le produit scalaire est défini via une intégrale
lafol lafol Bonjour
c'est le même principe que pour faire une BON à partir d'une base quelconque en dim finie : on garde le premier vecteur, on enlève le bon multiple de ce premier au deuxième pour récupérer un deuxième orthogonal au premier (en fait, on enlève au deuxième son projeté sur la droite engendrée par le premier), puis on enlève au troisième son projeté sur le plan engendré par les deux premiers pour obtenir un vecteur orthogonal à chacun des deux premiers etc.
il ne reste qu'à diviser chacun par sa norme. (il existe une variante où on norme à chaque étape)
ici, le produit scalaire est défini via une intégrale
re : Graam-Schmidt et Hilbert Posté le 24-06-08 à 12:40
Posté le 24-06-08 à 12:40Posté par robby3 robby3
Bonjour lafol,
je vais essayer mais au brouillon,je m'embrouille alors...
on commence à
le produit scalaire étant défini parg(t)\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}})
quel est l'étape suivante??
je fais le produit scalaire de 1 par t ??
robby3 robby3Bonjour lafol,
je vais essayer mais au brouillon,je m'embrouille alors...
on commence à
le produit scalaire étant défini par
quel est l'étape suivante??
je fais le produit scalaire de 1 par t ??
re : Graam-Schmidt et Hilbert Posté le 24-06-08 à 12:45
Posté le 24-06-08 à 12:45Posté par lafol lafol
oui
on va dire que la base de départ est notée avec des f et celle orthogonale avec des g
tu cherches
tel que 
, en ayant 
et 
devient 
donc
lafol lafol oui
on va dire que la base de départ est notée avec des f et celle orthogonale avec des g
tu cherches
donc
re : Graam-Schmidt et Hilbert Posté le 24-06-08 à 13:22
Posté le 24-06-08 à 13:22Posté par robby3 robby3
euhh...
je fais d\theta=0)
,donc là je montre que c'est orthogonale,il faut normer...c'est bien ça?
robby3 robby3euhh...
je fais
,donc là je montre que c'est orthogonale,il faut normer...c'est bien ça?
re : Graam-Schmidt et Hilbert Posté le 24-06-08 à 16:34
Posté le 24-06-08 à 16:34Posté par lafol lafol
Pas besoin de changer de variable : tu intègres une fonction impaire sur un intervalle symétrique par rapport à 0
donc oui, 1 et t sont déjà orthogonaux
donc oui, il n'y a plus qu'à normer
lafol lafol Pas besoin de changer de variable : tu intègres une fonction impaire sur un intervalle symétrique par rapport à 0
donc oui, 1 et t sont déjà orthogonaux
donc oui, il n'y a plus qu'à normer
re : Graam-Schmidt et Hilbert Posté le 27-06-08 à 11:26
Posté le 27-06-08 à 11:26Posté par robby3 robby3
>je norme en calculant quoi?
en calculant <1,1> ??
robby3 robby3Citation :
donc oui, il n'y a plus qu'à normer
donc oui, il n'y a plus qu'à normer
>je norme en calculant quoi?
en calculant <1,1> ??
re : Graam-Schmidt et Hilbert Posté le 27-06-08 à 16:02
Posté le 27-06-08 à 16:02Posté par robby3 robby3
donc je calcule
sauf erreur.
donc j'avais mon premier vecteur
ensuite mon deuxieme est:
robby3 robby3donc je calcule
donc j'avais mon premier vecteur
ensuite mon deuxieme est:
re : Graam-Schmidt et Hilbert Posté le 27-06-08 à 16:08
Posté le 27-06-08 à 16:08Posté par lafol lafol
Ton premier était 1 que tu dois diviser par sa norme, ton deuxième reste t (othogonal à 1) que tu dois aussi diviser par sa norme. Mais je ne crois pas que les polynômes de Chebyshev soient orthonormés, seulement orthogonaux
lafol lafol Ton premier était 1 que tu dois diviser par sa norme, ton deuxième reste t (othogonal à 1) que tu dois aussi diviser par sa norme. Mais je ne crois pas que les polynômes de Chebyshev soient orthonormés, seulement orthogonaux
re : Graam-Schmidt et Hilbert Posté le 27-06-08 à 16:18
Posté le 27-06-08 à 16:18Posté par robby3 robby3
mais s'ils forment une base de![L_C([-1,1]\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}})](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?L_C([-1,1]\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}))
c'est qu'ils sont orthonormés aussi non?
donc
j'ai
robby3 robby3mais s'ils forment une base de
donc
j'ai
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