[détente]_JFF_Gymnastique algébrique_15

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  [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_15 Posté le 24-06-08 à 12:44
Posté par mikayaou mikayaou

Bonjour,

Un problème sur lequel je sèche lamentablement 

Citation :

Soit une équation du second degré possédant 2 racines réelles et définie par :

On génère une nouvelle équation en remplaçant le coef  par la plus petite racine et le coef  par la plus grande

Montrer que cette procédure ne peut pas continuer indéfiniment

Quel est le nombre maximal d'équations générées ?

Encore une fois, je précise :

¤ que j'espère qu'il n'y a pas d'erreur d'énoncé ( j'en ai déjà vues dans cette source )

¤ que je ne connais pas le niveau des outils nécessaires à sa résolution

¤ que je n'ai pas la soluce : je ne pourrai donc pas vous donner des axes de recherche ou confirmer -assurément- votre proposition

Au moins, pour le début, répondez en blanqué : les autres participants vous en remercient ... 

 re :  [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_15 Posté le 24-06-08 à 19:12
Posté par veleda veleda

re
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au départ les racines sont distinctes?elles doivent le rester ? et rester réelles bien sûr

si je pars de X²-4X+3=0 qui a bien deux racines réelles distinctes

la nouvelle équation est X²-X+3=0 qui n'a pas de solutions réelles donc elle n convient pas

j'ai bien compris?
 re :  [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_15 Posté le 24-06-08 à 19:18
Posté par mikayaou mikayaou

euh veleda,

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 si 1 et 3 sont racines, c'est X²+X+3=0...(ce qui ne change rien dans l'absolu)

 sinon tu as bien compris, je crois 

 re :  [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_15 Posté le 24-06-08 à 19:24
Posté par veleda veleda

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oui tu as bien sûr raison
 re :  [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_15 Posté le 24-06-08 à 23:13
Posté par cailloux cailloux

Re,

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Je n' ai pas abouti pour l' instant, mais voici peut-être une piste:

On ne nuit pas à la généralité du problème en prenant  (il suffit de diviser l' équation de départ par  non nul)

en appelant  et  les solutions de l' équation à l' étape  avec ,  et  sont solutions de l' équation:

    dont le discriminant est 

   On a donc les relations de récurrences:  avec 

   Il "reste" à prouver que quelque soient  et , pour un certain rang , 

 A suivre...

 re :  [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_15 Posté le 24-06-08 à 23:43
Posté par mikayaou mikayaou

hello cailloux

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j'ai hésité à la faire, cette division par a

voici mon raisonnement sur un exemple :

soit ax² + bx + c = 0 avec a = 2, b = 2 et c = -12 : 2x²+2x-12 (tout comme x²+x-6) a pour zéros : -3 et 2

si on remplace dans l'équation initiale, on a 2x²-3x+2 qui a un Delta négatif

alors que x²-3x+2 a un delta positif

A moins de t'avoir mal compris ?

 re :  [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_15 Posté le 25-06-08 à 10:43
Posté par cailloux cailloux

Bonjour mika (et à tous) 

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Effectivement, tu as raison (cet aspect des choses m' avait échappé); néanmoins, j' ai la conviction que si la propriété est vraie pour , on doit pouvoir démontrer qu' elle l' est pour  quelconque.

  Evidemment, les convictions ne font pas avancer le schmilblic... Pas facile tout ça... 

 re :  [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_15 Posté le 25-06-08 à 10:49
Posté par mikayaou mikayaou

> cailloux -bonjour- 

Citation :

je suis également intimement persuadé qu'on peut le faire

cependant, telle que tu l'avais formulée, ta proposition simplificatrice souffrait d'imprécision

maintenant, ta relation à laquelle j'avais aboutit mais avec un a en plus, est sûrement celle qui faut exploiter...

 re :  [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_15 Posté le 25-06-08 à 10:50
Posté par mikayaou mikayaou

 re :  [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_15 Posté le 25-06-08 à 10:58
Posté par cailloux cailloux

Blanker, citer, ça m' est arrivé souvent...le grand âge peut-être: la tremblotte sur la souris 
 re :  [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_15 Posté le 25-06-08 à 11:17
Posté par mikayaou mikayaou

oui, tout ça mélangé...sans compter la non-volonté de T_P de dissocier ces boutons - en les regroupant par thème et en les mettant plus gros - pour éviter que nous soyons beaucoup à les confondre...

On peut espérer qu'avec le relookage de l'île , cette requête sera prise en compte

  Gymnastique algébrique_15 Posté le 29-06-08 à 23:36
Posté par rogerd rogerd

Bonjour mikayaou.

Que c'est dur! 

On se ramène bien sûr tout de suite au cas b<=c mais après?

J'ai fait des essais avec Maple pour diverses valeurs de a,b,c. Chaque fois, la procédure tourne court au premier ou au deuxième rang.

Il ne semble donc pas utile d'envisager une récurrence.

Il faudrait montrer que le deuxième (ou troisième) discriminant est négatif.

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