Bonjour, je n'arrive pas à résoudre cette équation ( je ne comprends pas le raisonnement en fait)
5x 7[16]
D'aprés Bezout, pgcd(5,7)=1
Donc 5x + 16y = 1
Et pour résoudre ça ?
Merci votre aide.
salut
5x = 7 [16]
donc on peut écrire :
5x = 7 + 16k
comme on veut résoudre dans Z
alors il faut que x soit dans Z
soit encore (7+16k)/5 est un entier relatif
puisque 16k =15k +k
donc il faut (7+ k)/5 est entier de Z
si k est de la forme 5q -7 avec q élément de Z
..
Bonsoir.
5x 7 [16]
5x = 7 + 16k
5x - 16k = 7
On cherche une solution particulière, par exemple x = - 5 et k = - 2.
Donc 5(-5) - 16(-2) = 5x - 16k
On en déduit que :
5(x+5) = 16(k+2)
5 divise 16(k+2) et 5 est premier avec 16, donc 5 divise k+2.
Ainsi k+2 = 5.a
16 divise 5(x+5) et 16 premier avec 5, donc 16 divise x+5.
Ainsi x+5 = 16.b
En reportant, on trouve que a = b.
Conclusion : x = 16a - 5, a quelconque dans
Méthode de résolution de Gauss, ça te dit qqch ?
Mais il y a plus simple. Tu dresses la table de congruence de 5x modulo 16 tout simplement
Bonjour
Disdrometre t'a donné une méthode tout a fait juste.
Une légère variante consiste à considérer :
5x + 16y = 7
16 = 5.3 + 1 d'où 1 = 5.(-3) + 16.(1)
Et donc en multipliant le tout par 7 tu trouves que (-21,7) est solution de l'équation.
Donc en particulier comme 5.(-21) + 16.(7) = 7
5x + 16y = 5.(-21) + 16.(7)
d'où :
5(x+21) = 16.(7-y)
Ainsi 16|5(x+21) or pgcd(16,5) = 1 donc par le théorème de Gauss,
16|(x+21) et donc
Il existe k dans Z tq x = -21 + 16k = 11 + 16k'
A vérifier et Sauf erreurs
Bonsoir, en fait je ne comprends pas le passage entre
16|5(x+21) or pgcd(16,5) = 1 donc 16|(x+21)
et
Il existe k dans Z tq x = -21 + 16k = 11 + 16k'
Si vous pouviez le développer un petit peu plus ....
Merci !
Ah dans ce cas, il n'y a pas de problème.
D'après mon développement, la réponse est :
x = -21 + 16k avec k dans Z
Mais si tu poses par exemple k = k'+1, tu as toujours k' dans Z et alors :
x = -5 + 16k' (solution de Raymond)
Et si tu poses k = k''+2, tu obtiens :
x = 11 + 16k''
C'était juste pour faire plus joli
En gros, pour faire simple, tu réponds
x 11 [16]
A bientôt
Bon j'ai réessayé une autre équation, mais toujours bloqué au même point:
(E1): 6x8[16]
6x + 16y = 8
3x+8y=4
D'aprés boezout et pgcd=1 :
3x' + 8y' = 1
Solution particuliére; 3,-1
Donc
3x+8y=3(12)+16(-4)
Donc 3 | y+4 & 8 | x-12
Et .... ?
Alors ne fait je trouverai : x = 12[16] comme solution générale
soit x = 12 + 16k avec k Z
Est ce ca ?
Bonjour
Il faut garder l'équation de départ ...
3x - 8y = 4 (*)
8 = 3.(2) + 2
3 = 2.(1) + 1
d'où
1 = 3-2.(1) = 3-(1).(8-3.2) = 3.(3)-8.(1)
Une solution particulière de (*) est donc : (12,4)
3x - 8y = 3.(12) - 8.(4)
3(x-12) = 8(y-4)
8|3(x-12) pgcd(8,3) = 1 donc il existe k tq : x = 12+8k
ie x 4 [8]
Bonsoir
petite variante pour la première : 5 étant premier avec 16 est inversible modulo 16, et comme 5*(-3) = -15 = -16 + 1, son inverse est -3
donc <==> ou encore ou encore
Bonjour lafol >
En fait, on se place sans le dire dans Z/16Z. On a :
5x = 7 dans Z/16Z
On cherche l'inverse de 5. Pour cela,
16 = 3.5 + 1 donc 1 = 16 + 5.(-3)
Donc l'inverse de 5 est -3 dans Z/16Z et alors :
5x = 7 donne x = 7.(-3) = -21 = -5 dans Z/16Z d'où le résultat.
( En gros, j'ai réécris ce que tu as écris plus haut )
A bientôt
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