Forum : probabilités :
Loi uniforme sur un domaine

C'est ce qui est donné proposition 13 ici .

Par contre je vois en quoi le changement de variable est utile ici

Euh...Encore une fois, pourquoi veux-tu donc calculer l'espérance de (U,V) ?

Ce qui est demandé, c'est la densité de ce couple!

Voila, j'ai retrouvé, je voulais faire comme sto ici (le 09/06/2008 à 22:24)

Bon j'avoue que je ne vois plus très bien, je n'ai pas le courage de voir où il calcule la densité du couple.
De plus il ne s'agit plus de la loi normale ici.
Je vais me coucher, bonne nuit!

Bonne nuit Tiq!

Je suis persuadé que c'est ce qu'il faut utiliser!
Sto, si tu repasses par ici, tu es le bienvenue!

bonjour,
ça va etre ce calcul non?

déjà j'ai


par contre à à 00:25,ce serait pas 3/4 la constante devant car l'aire de d c'est 4/3??

et le calcul c'est
...et pas ...sauf erreur

Oui, j'ai la même chose!

Mais peut tu écrire ton calcul de , je ne m'en sors pas.

je ne suis pas sur...

euhhh...

faut écrire déjà dx=...
dy=...


le jacobien...c'est assez barbant comme truc

Pour le jacobien je trouve , toi aussi ?

Re H !

J'ai relu ce qu'a écrit Stokastik dans l'autre topic.Si tu veux appliquer sa méthode, il faut partir d'une fonction k continue bornée et déterminer   .

Ici j'ai l'impression qu'on n'a pas besoin de tout ça, il doit exister une formule donnant directement la densité de    en fonction de      et du jacobien    


Je crois d'ailleurs que c'est assez simple.On utilise la formule de changement de variable pour évaluer, pour tout ensemble mesurable      de       :


.

On en déduit donc que la densité            du couple       est donnée  par la formule      


Sauf erreur bien entendu.A propos, ça me fait penser que tu n'as pas prouvé que h réalisait bien une bijection de       dans        ...

Tiens, salut robby!

Tiens salut Maitre Tig!!

H>le jacobien faut le prendre en valeur absolue!

Tigweg...tu veux calculer directement en fait,c'est ça?

citation :
Tiens salut Maitre Tig!!

-> _{Que suis-je censé répondre, petit scarabée?}


Bref, y a plus qu'à se lancer dans le calcul de la fonction réciproque de h!

Bonjour Tig, bien dormi?


Je ne saisi pourquoi la densité de , on part de ?

Ouais parce qu'au début on a dit que et je ne vois pas le rapport!

Oui, merci!

Parce que faire ce calcul, c'est intégrer la densité (qu'on cherche!) de (U,V)  sur l'ensemble A.

Une certaine fonction g est la densité du couple (U,V) ssi pour tout A mesurable, la proba que le couple appartienne à A est donné par l'intégrale sur A de la densité du couple.

t'es bien certain d'avoir regarder h avant de calculer

Faux,  la formule         n'est valable que pour le couple (X,Y), vu qu'il suit la loi uniforme.

Rien ne dit que (U,V) suit aussi la loi uniforme!D'ailleurs on cherche la loi de (U,V), on ne la connaît pas!
L'énoncé donnait la loi de (X,Y), en revanche!

citation :
Une certaine fonction g est la densité du couple (U,V) ssi pour tout A mesurable, la proba que le couple appartienne à A est donné par l'intégrale sur A de la densité du couple.

Donc .
Comment retrouver 11:46 ?

citation :
t'es bien certain d'avoir regarder h avant de calculer ?

->Oui, petit scarabée!

En trente secondes chrono, on obtient:

  

Ahhhh!


Donc on avait dans ce cas :

H > 11h46 est faux!!!

Je voulais dire à 11:46 avec suivant une loi uniforme sur

Lol! Justement, il est faux que (U,V) suit la loi uniforme!
Relis 11h49

ah!!
mais c'est pas ce que j'ai fait à 11:09 ??
donc
enfin Tigweg,faudrait bien remplacer par son expression en u comme à 11:09...non?

Ok grand Tig ^^

Je trouve que c'est quand même bien tordu

citation :
A propos, ça me fait penser que tu n'as pas prouvé que h réalisait bien une bijection

Et pourquoi ça ?

robby > En effet, je n'avais pas bien lu!

Sauf qu'à ta deuxième ligne de calcul, c'est Y qu'il faudrait écrire à gauche, et pas V!

Sinon oui, c'est bien 3/4 qu'il faut écrire à00h25 car l'aire de D est bien 4/3 me semble-t-il.

citation :
Et pourquoi ça ?

-> Ils disent de le prouver dans l'énoncé!

citation :
Montrer que  est un difféomorphisme dont le jacobien ne s'annule pas .

Or ils donnent les domaines D et Delta, donc ils sous-entendent de prouver que h réalise une bijection entre ces deux domaines.

Tigweg,le fait que le jacobien soit non nul n'intervient-il pas dans le fait que ce soit bien une bijection??

bon il faut faire le calcul maintenant

je ferais ça aprés manger

Sinon, ta formule me paraît fausse H, reprenons celle de robby.

Ce n'est pas tordu car il n'y a plus qu'à :

* composer à gauche par la densité -constante!- de (X,Y)

* Multiplier par le jacobien de la fonction réciproque de h, qui n'est autre que l'inverse du jacobien de h!


La première étape redonne la constante qu'est f_(X,Y), soit 3/4, puisque quand on compose une fonction constante avec une autre fonction, on récupère la constante!!

robby> Tout-à-fait, mais cela ne dit pas que l'image de D est précisément Delta²!

Je ne vois pas!

Il s'agit bien de prouver que quelque soit il existe un unique tel que ?


Mais il y a unicité dans la résolution du système :




Donc c'est bon non ?

ça nous fait ??

Et si dans la formule de robby, , on remplace par , on retombe pas sur ce que je donne ?

si si je crois bien,je l'avais déjà dit 11:09

Donc on obtient:




Après cela dépend:

si ou pas !

tonn truc entre crochet vaut 3/4...
donc au final ça doit donner

Le truc entre crochet vaut à condition de vérifier :

1)

2)


Puisque .


Pour le 1) c'est ok. Pour le 2) je ne vois pas pourquoi !

non mais si ça réalise une bijection,je comprend pourquoi on se prend la tete avec les intervelles là??

^{(je vais manger un morceau,je reviens tout à l'heure)}

citation :
non mais si ça réalise une bijectione , je comprends pas pourquoi on se prend la tete avec les intervelles là??

->Justement on ne l'a pas encore prouvé!On sait que c'est bijectif, mais qui dit que l'ensemble-image est bien Delta², robby??

Tig, pour montrer que c'est bijectif, on dit ce que j'ai écrit plus haut à 12:17 ?


Il reste a calculer ?

Pas tout-à-fait.

Déjà il est clair que si (x,y) est dans D, h(x,y) est dans Delta.

L'injectivité résulte de ce que le jacobien est non nul.

Reste donc à prouver la surjectivité.

On se donne (u,v) dans Delta² et on veut trouver (x,y) dans D tels que (u,v) = h(x,y).

Il y a certes unicité du couple (x,y) ,encore faut-il vérifier qu'il est bien dans D!

Il est clair que si 0 < u < 1,   0 < x = 2u-1 < 1.

Reste à voir que pour u et v entre 0 et 1 on a y = v + (2u-1)²(1-v) entre x² et 1.

Le fait que y > x² est immédiat.


Pour voir qu'il est inférieur à 1, on peut considérer v  comme une constante et étudier les variations du trinôme du second degré en u qui reste, sur [0;1].

La dérivée du trinôme v + (2u-1)²(1-v), vu comme une fonction de u, est 4(2u-1)(1-v) , qui est positive ssi u > 1/2 (car 1-v > 0).

Le minimum est donc atteint en u=1/2 et vaut v.

Le maximum est max (valeur en u=0, valeur en u=1) = max(1;1) = 1.

D'où le résultat.

donc au final,la densité de (U,V),c'est bien ce que je dis à 12:30??

Parfait Tig!


Je trouve aussi


Reste à trouver et et à faire le produit pour retrouver pour répondre aux dernières question!

mais dans la question de départ,il faut en conclure que U et V sont indépendants avant meme de calculer les lois marginales??

citation :
(J'ai cramé la casserole avec les petits pois dedans!!)

-> _{On dirait que les carottes sont cuites!!!}


Bon les gars, pour le jacobien je n'ai pas comme vous!Il suffit d'inverser le jacobien de h et de revenir à u et v, je trouve donc .

Au final, je trouve donc .

j'ai pas fait le calcul moi!
je faisais confiance à H_aldnoer pour un calcul d'inverse