Forum : probabilités :
Loi uniforme sur un domaine

Bonsoir,

voici un autre exercice!

Soit un couple de variables aléatoires réelles de loi uniforme sur le domaine :
.


1) Déterminez les lois marginales, les espérances et les variances de et .

2) Les variables aléatoires et sont-elles indépendantes ?

3) Soit et soit l'application de dans , définie, pour tout , par :

.

Montrer que est un difféomorphisme dont le jacobien ne s'annule pas sur .

4) Calculer la densité du couple où et

5) Conclure que et sont indépendants et préciser leurs lois marginales.

---

J'ai toujours travaillé sur des v.a. qui suivaient des loi uniformes sur des intervalles !
Ici, .

Comment obtenir l'expression de la densité ?

Tu y arrives ?
Moi je ne sais comment étudier une loi uniforme sur un domaine, c'est quand même space!

f_{(X,Y)}(x,y)=1_{D}

c'est tout!! non?


^{mais d'ou sortent ces exos?}

Tu trouves quoi pour les lois et surtout comment !?

_{sur le site du prof!}

Bonjour,

allez un petit essai quand même, tu avais l'air si désappointé...

Je pense qu'on dit que (X,Y) suit la loi uniforme sur ce domaine D si, pour tout ensemble mesurable A de D on a:

     où         est la mesure de Lebesgue sur R².

Alors              aire entre la parabole y=x² et les droites d'équations y=1 et x=t, divisée par aire du domaine D,  soit, avec aire(D)=4/3,

            , sauf erreur.

en fait,je crois que


à vérifier quand meme!



^{(t'as un lien, parce que j'ai cherché mais pas trouvé )}

j'ai absolument rien compris de ce que tu as fait Tigweg??

Pardon, petite coquille:

citation :
Alors

pourquoi l'aide de D c'est 4/3?
pourquoi integres tu ?

Il faut faire un dessin robby: pour trouver la loi de X, on se prend un réel t compris entre -1 et 1, on considère l'événement X < t, et on regarde où peut varier le couple (X,Y) de façon qu'il reste au-dessus de la parabole.

Je n'ai pas écrit les calculs, mais pour trouver l'aire comprise entre deux courbes, il faut intégrer la différence entre la fonction la plus grande et la fonction la plus petite.

La plus petite est x², la plus grande est 1 puisque pour x entre -1 et 1, on a

D'ou vient la définition du fait que ?

Bien sûr, il faut multiplier mon résultat par la fonction indicatrice de [-1;1].

Si t > 1, la probabilité cherchée vaut 1.

c'est comme quand tu dis
c'est la définition de la loi uniforme,mais ici de maniere beaucoup plus générale

^{un lien?}

H > Du fait que pour une seule v.a.r. X , la probabilité que X soit dans un domaine D est proportionnelle à sa mesure de Lebesgue.

Je n'ai fait que généraliser à deux dimensions.

Ok!

Mais comme robby, je ne comprend pas pourquoi !

J'ai fais mon dessin, tout propre, j'ai calculé sans problème. Mais pour l'aire je procède ainsi :

c'est l'aire sous la courbe.
Je prend l'aire du rectangle .

Si je soustrait l'un à l'autre je dois obtenir ce qu'il faut en principe !
Soit , non?

_{oui, voici le lien , il te faudra ce logiciel pour ouvrir les ".ps"}

Faux, l'aire du rectangle vaut t+1 (hauteur de 1, longueur de t-(-1)).



Théorème utilisé (de Terminale, les gars! ) :

citation :
si f et g sont deux fonctions continues sur l'intervalle [a;b] et si f < g sur I alors l'aire comprise entre les courbes de f et g et les droites x=a et x=b est l'intégrale entre a et b de g-f.

Ahhhhh!

Donc c'est bien !

Donc suit la loi dont la fonction de répartition est donnée par ?

Ouihhhhhh (ou presque!)

Il y a aussi le cas où t < -1, auquel cas F_X(t) = 0.

Bien sûr, ce résultat ne vaut que si mon interprétation de la loi uniforme en deux variables est la bonne!

citation :
Bien sûr, ce résultat ne vaut que si mon interprétation de la loi uniforme en deux variables est la bonne!

Regarde Tig, je viens de voir sur quelque chose :

La densité est donnée visiblement par :


Tu pense que l'on puisse s'en sortir ainsi ?

Ah eh bien dans ce cas ça confirme bien ce que je disais:

La proba que (X,Y) soit dans une partie mesurable A du plan est l'intégrale sur A de ta densité, et comme celle-ci ne dépend ni de x, ni de y,  on retombe bien sur le quotient des aires.
Ce que j'ai proposé est donc valable.

Bonne interprétation Mister Tig


Pour l'espérance, dois-je utiliser ?

Ici, il faut donc dériver l'expression obtenue ?


Soit , est-ce cela ?

Oui, tout-à-fait!

Bon après c'est du calcul ça roule !


Sinon, est-ce bien ?

Oui.Il faut donc intégrer t-x² entre les abscisses des points d'intersections et de la parabole et de la droite y=t.

Ceci ne vaut que si t est compris entre 0 et 1 ben sûr.

J'obtiens donc que , soit !

Déjà tu fais toujours la même erreur, F_Y(t) vaut forcément 1 (et pas 0 !) si t > 1.

Ensuite je crois que tu as oublié des t dans le deuxième terme de ta formule centrale, et aussi de diviser par l'aire de D.Je trouve pour t entre -1 et 1:

.

Ok pour le 1 si t>1 !

Sinon, je calcule l'aire du rectangle : je trouve .

Je calcule l'aire sous la courbe : je trouve .

Je calcule les raccords : je trouve .


En principe, .

Soit, dans ce cas, !

Ou est mon erreur ?

Précision :
le rectangle, c'est .
l'aire sous la courbe, c'est
les raccors, c'est et

Tu me fais marrer avec tes rectangles!

Enfin bon si tu y tiens, celui-là a une hauteur de t et une largeur de puisque x varie entre plus ou moins racine de t.Il faut soustraire à cette aire l'intégrale entre les mêmes bornes de x².

OK, ton erreur, c'est que tu as oublié qu'on veut que Y < t ...

Trace donc la droite y=t sur ton dessin, tu y verras plus clair!

Je le vois mieux avec les rectangles!

Ok je retrouve bien ce que tu donne

Je me débrouille pour l'espérance et la variance.
Par contre, je ne vois pour le 2).

Le calcul de la variance peut-il nous aider ?

Ah oui mais non, on a trouvé et , mais à priori on ne connait pas

lol! Et moi qui ne voulais pas faire ton exercice!!

Sans garantie aucune, tu as la densité du couple (X,Y) et les densités de X et de Y.

Je crois que pour avoir l'indépendance, il faut et il suffit que la première soit égale au produit des deux autres!

Mais assure-toi bien que ce que j'avance est vrai!

citation :
lol! Et moi qui ne voulais pas faire ton exercice!!

Nous sommes lancés ^^


Eh c'est vrai!




Donc c'est constant, aucune chance que ce soit égale au produit , si ?

En effet, le produit de droite dépend fortement de x et de y!

Mais la condition que je suggérais est-elle bien nécessaire et suffisante?

citation :
La densité de probabilité d'un couple est le produit de la densité de probabilité des lois marginales de chacun des termes de ce couple

Ca semble plutot bon, non ?

référence :

Attends, ce n'est pas toujours vrai quand même!

N'as-tu pas oublié un morceau de phrase, du genre :

citation :
si et seulement si les composantes de ce couple sont des v.a.r indépendantes ?

Effectivement, il faut rajouter l'indépendance !

Dons, si l'on suppose que et sont indépendants, il y aurait l'égalité des fonctions .
Ceci n'est pas le cas, donc et ne sont pas indépendants.

Maintenant, je pense que c'est correct!

Personnellement, ça me paraît juste!

Par contre je ne connais pas la formule permettant de calculer la densité de (U,V) en fonction de celle de (X,Y) et du jacobien, je te préviens!

est clairement .
Puisqu'il existe un et seul couple tel que et , on déduit que est bijective.

On peut exprimer l'inverse, et montrer qu'il est aussi (mais on va pas le faire ).

Le jacobien est donné par

citation :
Par contre je ne connais pas la formule permettant de calculer la densité de (U,V) en fonction de celle de (X,Y) et du jacobien, je te préviens!

Ok pour ton jacobien!Mais peut-être la connais-tu, toi, cette formule!

On remarque que :



Donc :



Il existe bien une formule, puisque \Large{h} est mesurable, bornée!
Mais je ne la maitrise pas parfaitement!

C'est quelque chose du type

Lol mais qui parle d'espérance? On cherche la densité ici!

Ah oui tiens, c'est ça!