Forum : arithmétique :
Divisibilité, congruences

Bonjour,
il faut que je prouve que 2⁷⁰+3⁷⁰ est divisible par 13

70=135+5
soit 70=5[13]

Donc 2⁷⁰+3⁷⁰ = 2⁵+3⁵

et aprés que faire ? car je ne trouve pas 0 ...

merci !

Bonjour, je pense qu'il faut partir un peu différemment
pour ce type d'exercie sur les congruences, il faut trouver une puissance de 2 ou de 3 congrue à 1 ou -1

ici je dirais

3³=1[13]
2⁶=-1[13]

on devrait aboutir, je n'ai pas fait le calcul encore

Bonjour,

je ne comprends pas pourquoi tu cherches le reste de 70 dans la division par 13 ...



Or :

Et :

Donc :

Ensuite, il reste à faire pareil avec 3⁷⁰ ...

bonjour jamo,

en divisant 70 par 3 et 6 on a

3⁷⁰=3^3*23+1=3[13]
2⁷⁰=2^6*11+4= -2⁴=-16=-3[13]

d'où le résultat

le petit théorème de Fermat nous dit que, si p est premier,
donc pour on a .
C'est donc par 12 qu'il faut diviser l'exposant de manière générale pour calculer modulo 13.
Or et
Donc
Comme
on en déduit

On gagne du temps pour chaque élément particulier en cherchant l'ordre . Ici 3 est d'ordre 3  car pour 3 on peut donc diviser l'exposant par 3.
Mais 2 est d'ordre 12 donc Fermat est très performant pour 2