Forum : arithmétique :
Divisibilité, congruences

Bonjour,
je n'arrive pasà prouver que 13¹⁶ est divisible par 17 ...
Je ne vois vraiment pas comment faire ....

Re-Bonjour,



...

13¹⁶ n'est pas divisible par 17 !

Bonjour.

13¹⁶ = 13 x 13 x ... x 13 n'est pas divisible par 17.

Par contre 13¹⁶-1 l'est !

Bonjour jamo.

RR.

je comprends pas vos raisonnement ...
mais je viens de me rappeler (honte à moi!)
que d'aprés fermat : a^p-11[p]

ce qui résout un peu tout.
merci quand même.

Un nombre formé par un produit exclusivement composé de 13 ne peut certainement pas être divisible par 17.

Comme te le signale jamo, on te demande certainement de prouver que 13¹⁶ - 1 est divisible par 17.

Je pense que ton premier topic contient une erreur d'énoncé.

Si tu ne veux pas utiliser le petit théorème de Fermat, tu peux appliquer à répétition la formule a² - b² = (a+b)(a-b) à ton expression 13¹⁶ - 1

Oui désolé, c'est moi qui me suit trompé c'était bien avec -1.

Bonjour,

on peut aussi utiliser la propriété des congruences sur les puissances

a=b[n] donc a^p=b^p[n]

ici 13²=-1[17] comme l'a dit jamo

donc 13¹⁶=(13²)⁸=(-1)⁸=1[17]

bonjour

sinon, autre façon, plus bourrine

13¹⁶ - 1= (13⁸-1)(13⁸+1) = (13⁴-1)(13⁴+1)(13⁸+1) = (13²-1)(13²+1)(13⁴+1)(13⁸+1)

or 13² + 1 = 169 + 1 = 170, divisible par 17

on peut aussi montrer que 13¹⁶ - 1  est divisible par 7