Forum : probabilités :
loi de Rademacher et covariance

Bonjour tout le monde,voilà un petit exercice:

une var à valeurs dans Z/,de carré integrable,
symétrique.

citation :
Soit une var indépendante de tel que avec 1)loi de 2)calculer de 2 façons différentes 3)donner une condition nécessaire et suffisante pour que en fonction de et de 4)Donner une condition nécesaire et suffisante pour que et soient indépendantes en fonction de et

je poste ce que je trouve(pour l'instant j'y ai pas encore bien réfléchi)

pour la 1)
j'ai
??
ok?
je peux continuer?

je trouve que
car x et Z sont indépendants et que X est symétrique.

donc la loi de Y c'est 2p.la loi de X.
ok?

Re robby!

On sait que Z ne peut valoir que -1 ou 1?? Prux-tu me rappeler ce qu'est une va de Rademacher s'il-te-plaît?

Sinon ta formule des probabilités totales est fausse, il faut multiplier chaque terme du second membre par P(Z=1) (pour le premier) et P(Z=-1) (pour le deuxième).

pour la2)
une premeire méthode c'est de faire par indépendance.

la 2eme méthode c'est de faire par définition de l'espérance,là j'ai plus de difficulté

ça veux dire que prend la valeur 1 avec une proba égale à
et -1 avec une proba de

(et là je m'aperçois que je me suis planté dans mes calculs)

non ?

D'accord!Ce n'est donc rien de plus qu'une Bernouilli particulière!

citation :
(et là je m'aperçois que je me suis planté dans mes calculs)

en fait  
je trouve que comme P(Z=1)=p et que P(Z=-1)=1-p
que X et  -X ont meme loi

P(Y=k)=P(X=k) ??

est-ce que je fais fausse route??

PAr indépendance on a:

¨P(ZX=x) = P(X=x)P(Z=1) + P(X=-x)P(Z=-1) = P(X=x) (P(Z=1)+P(Z=-1) (par symétrie) = P(X=x).

Ainsi, X et Z ont la même loi.

X et Y.
mais c'est ok.
pour l'espérance:
(par indépendance)=

autre méthode:
par définition ??

Comment tu factorises par dans ton dernier post Tig ?

P(X=x)=P(X=-x)

D'ou cela vient-il ?

ça vient que X est symétrique(cf énoncé )


Tigweg> une idée pour la 2eme méthode??

pour la 3) si X² est indépendant de Z,je crois que ça marche

je m'explique pour la 3)

Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]=0
<=>
E[XY]=E[X]E[Y]
<=>
E[X².Z]=E[X²].(2p-1)
<=>
E[X²].E[Z]=E[X²].(2p-1)(possible ssi X² est independant de Z).

non?

Attends pour la 2) il y a un souci non?

    donc  comme 2p-1 est différent de 1, E(X)=0!

Où est l'erreur?

POur la 3, l'équivalence

citation :
E[XY]=E[X]E[Y] <=> E[X².Z]=E[X²].(2p-1)

est fausse, on n'a pas E(X)²=E(X²) !

j'avoue que pour la 2) je vois pas trop...
une idée pour la 3)??

pour 3):

E[XY]=E[X].E[Y]
<=>
E[X²Z]=E[X]²(2p-1)
<=>
E[X²]=E[X]²
<=>
Var[X]=0
??

25/06/2008 à 17:03: y'a pas d'erreur, E[X]=0 car x symétrique

salut Stokastik!
mais 17:14 est-il faut?

Ah oui j'avais oublié ce résultat, il est donc tout-à-fait cohérent de tomber sur E[X]=0.
En plus c'est assez évident quand on y réfléchit 5 secondes...

Quelle est donc la deuxième méthode attendue dans ce cas?Il suffit de dire que E(Y)=E(Z)E(X)=0, point!

Pour la question 3, on a, par nullité de E(X) :

Cov(X,Y)=0 <=> E(XY) - E(X)E(Y) = 0 <=> E(X²Z) = 0.

Or les valeurs prises par X²Z sont 0, les entiers de la forme k² lorsque Z=1, et ceux de la forme -k² lorsque Z=-1.


De plus pour k entier strictement positif on a :

* P(X²Z=k²) = P(Z=1 et (X=k ou X=-k)) = p.P(X=k) + p.P(X=-k) (indépendance) = 2pP(X=k) (symétrie).

*P(X²Z=-k²) = P(Z=-1 et (X=k ou X=-k))=                                     = 2(1-p)P(X=k).  




Par suite,






Sauf erreur bien entendu!

on est parfaitement d'accord.
une idée pour la 4)

faut-il rejouer avec la covariance pour la derniere question?
je n'ai pas vraiment d'idées et la tete de W me plait pas trop

W est quelqu'un de bien:c'est le signe de X!

Il vaut 1 si X>0, -1 si X est négatif, 0 si X est nul.

PAr suite, |X|W = X et E(|X|W)=E(X)=0.

Reste à comparer ce résultat avec E(|X|)E(W).

Or E(W)=1.P(X>0)+0.P(X=0)-1P(X<0)=P(X>0)-P(X<0) qui devrait être nul par symétrie de X!

Par conséquent, |X| et W m'ont l'air tout le temps indépendant, ce qui est quelque peu suspect!

Ok Tigweg mais la covariance de deux var peut etre nulles sans que que ces var soient forcément indépendantes il me semble.

Mince, tu as raison robby!

C'est tout-à-fait cela!
Bon, au moins c'est rassurant.

Mise à part la définition de l'indépendance, y a-t-il une propriété qui la caractérise?

bah là, je vois pas trop...calculer la loi du couple et montrer qu'elle est égale aux produit des lois marginales mais là,je pense que ça va etre dur vu qu'on sait rien sur X à part qu'elle est symétrique

mise à part ça,je vois pas trop

Bon en fait y a que très peu de cas, car

*P(W=1)=P(X>0)=P(X<0)=(1-q)/2

*P(W=-1)=P(X<0)=(1-q)/2

*P(W=0)=P(X=0)= q.



De plus, P(|x|=k) = 2P(X=k) si k > 0, q si k=0 , 0 si k < 0.

Comparons avec la proba des différentes intersections possibles:


Si k 0, P(|X|=k et W=1) = P(|X|=k et W=-1) = P(|X|=k et W=0) = 0 et c'est toujours égal au produit des deux probas.

Si k > 0,

* P(|X|=k et W=1) = P(X=k) ; on compare à P(|X|=k)P(W=1) = 2P(X=k)(1-q)/2 = P(X=k)(1-q)

Donc il est nécessaire que q=0 ou que pour tout k > 0, P(X=k) = 0 (ce qui équivaut à dire que soit P(X=0) = 0, soit, par symétrie de X, que tous les P(X=k) avec k non nul sont nuls).

* P(|X|=k et W=-1) = P(X=-k) = P(X=k) ; on compare à P(|X|=k)P(W=-1) = P(X=k)(1-q)

et on retombe sur le même cas qu'avant.

* P(|X|=k et W=0) = 0 ; on compare avec P(|X|=k)P(W=0) = 2qP(X=k).

Là encore, ces deux résultats sont égaux ssi q=0 ou si pour tout k non nul, P(X=k)=0.

Remarquons que ces deux conditions sont exclusives l'une de l'autre puisqu'il faut que la somme des P(X=k) lorsque k décrit Z soit égale à 1.

La réciproque est évidente.


Conclusion : |X| et W sont indépendantes ssi P(X=0) = 0 ou pour tout k non nul, P(X=k) = 0.

Petite erreur:

si k = 0, P(|X|=k et W=0) = P(X=0) = q . Le produit des probas vaut P(X=0)P(X=0)=q².

Il est donc nécessaire que P(X=0) vaille 0 ou 1, ce qui est confirmé par la suite de la discussion (voir post précédent).

bah Merci Maitre Tig, c'est parfait!
je relis ça plus calmement mais je crois que j'ai presque tout pigé

Génial!

citation :
De plus, P(|x|=k) = 2P(X=k) si k > 0, q si k=0 , 0 si k < 0.

>c'est pas 2q si P(X=0)??

citation :
Si k > 0, * P(|X|=k et W=1) = P(X=k) ; on compare à P(|X|=k)P(W=1) = 2P(X=k)(1-q)/2 = P(X=k)(1-q) Donc il est nécessaire que q=0

>que q=1 non?

sinon ok.

Non à tes deux questions.


Pour la première, si k=0 on tombe sur P(|x|=0) soit sur P(X=0) , ou encore q.

Pour la deuxième, l'équation P(X=k) = (1-q)P(X=k) équivaut bien à q=0 ou P(X=k)=0.

ah d'accord, autant pour moi!

pas de problemes.
Merci Tigweg

Avec plaisir, robby

Tig si tu peux jeter un coup d'oeil ici


*** edit Tom_Pascal : lien corrigé ***

Oh non je suis dégoûté!!

Je t'ai répondu sur le topic en question, mais il y a un bug,il semble qu'il soit impossible de continuer à y poster...
J'ai copié ce que j'avais écrit et comme un benêt j'ai redémarré l'ordinateur au cas où le problème proviendrait de moi...et bien sûr je ne peux plus coller ce que j'avais écrit.

citation :
Oh non je suis dégoûté!!

Je suis désolé pour ce bug Tigweg

Ce n'est pas de ta faute, Tom-Pascal!, votre site est déjà super, il est normal qu'il subsiste quelques imperfections!

Mais merci de ton message!

citation :
votre site est déjà super

Il est même plus que super, ça permet à des petits jeunes comme moi d'avoir une aide plus que précieuse