Des qsuestions de cours (Algèbre)
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Des qsuestions de cours (Algèbre)
Posté le 25-06-08 à 14:45
Posté par 
bizbiz bizbiz
Salut,
J'ai des problèmes avec quelques notions de cours que je n'est pas compris, j'espère que je trouverai ici des réponses à mes question :
Donc voilà :
C'est un exemple de cours :
Il s'agit de montrer que la matrice suivante est diagonalisable et la diagonaliser :![\[\array{2&1&1\\1&2&1\\1&1&2}\]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\[\array{2&1&1\\1&2&1\\1&1&2}\])
On commence par le polynôme caractéristique :
=(4-X)(1-X)^2)
(après un calcul que j'ai compris)
Donc :
et =2 , m(4)=1)
On a :
est scindé dans ![K[X]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?K[X])
.
de plus :
notons)
le sous espace propre associé à 
:
Donc :![\dim(SEP(1))=3-rg \[\array{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}\] = 3-1=2=m(1)](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\dim(SEP(1))=3-rg \[\array{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}\] = 3-1=2=m(1))
et=1=\dim(SEP(4)))
1)
Ma question est : pourquoi à t-on directement sû que))
? car quand j'utilise le théorème du rang :
![\dim(SEP(4))=3-rg \[\array{-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2}\]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\dim(SEP(4))=3-rg \[\array{-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2}\])
je ne vois pas pourquoi![rg \[\array{-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2}\]=1](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi? rg \[\array{-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2}\]=1)
?
Merci
bizbiz bizbizSalut,
J'ai des problèmes avec quelques notions de cours que je n'est pas compris, j'espère que je trouverai ici des réponses à mes question :
Donc voilà :
C'est un exemple de cours :
Il s'agit de montrer que la matrice suivante est diagonalisable et la diagonaliser :
On commence par le polynôme caractéristique :
Donc :
On a :
de plus :
notons
Donc :
et
1)
Ma question est : pourquoi à t-on directement sû que
je ne vois pas pourquoi
Merci
re : Des qsuestions de cours (Algèbre) Posté le 25-06-08 à 14:48
Posté le 25-06-08 à 14:48Posté par Tigweg Tigweg
Bonjour,
justement le rang de ta matrice vaut 2 (il existe une sous-matrice d'ordre 2 inversible), donc la dimension de l'espace propre est bien 3-2 =1 .
Tigweg TigwegBonjour,
justement le rang de ta matrice vaut 2 (il existe une sous-matrice d'ordre 2 inversible), donc la dimension de l'espace propre est bien 3-2 =1 .
re : Des qsuestions de cours (Algèbre) Posté le 25-06-08 à 14:50
Posté le 25-06-08 à 14:50Posté par Camélia Camélia 
Bonjour
La dimension d'un sous-espace propre est toujours inférieure à l'ordre de multiplicité de la valeur propre. Si celle-ci est simple, il n'a pas le choix, il est de dimension 1.
Coucou Greg
Camélia Camélia Bonjour
La dimension d'un sous-espace propre est toujours inférieure à l'ordre de multiplicité de la valeur propre. Si celle-ci est simple, il n'a pas le choix, il est de dimension 1.
Coucou Greg
re : Des qsuestions de cours (Algèbre) Posté le 25-06-08 à 15:26
Posté le 25-06-08 à 15:26Posté par bizbiz bizbiz
Merci Camélia et tigweg !
Je continue :
Donc la matrice est diagonalisable .
Cherchons les vecteurs propres :
Soit)
la base canonique .
Soit\in K^3)
\Leftrightarrow AX=4X)
avec ![X=\[\array{x_1\\x_2\\x_3}\]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?X=\[\array{x_1\\x_2\\x_3}\])
(la matrice en question est noté A)
alors :
\Leftrightarrow\{{2x_1+x_2+x_3=4x_2\\ x_1+2x_2+x_3=4x_2\\x_1+x_2+2x_3=4x_3})
)
Donc :
=Vect(e_1+e_2+e_3))
Là, j'ai rien compris ! pourquoi SEP(4) est ce vect ? et qu'est ce qu'on fera avec, on voulait au depart trouver les vecteurs propres et maintenant ca ?
Merci
bizbiz bizbizMerci Camélia et tigweg !
Je continue :
Donc la matrice est diagonalisable .
Cherchons les vecteurs propres :
Soit
Soit
alors :
Donc :
Là, j'ai rien compris ! pourquoi SEP(4) est ce vect ? et qu'est ce qu'on fera avec, on voulait au depart trouver les vecteurs propres et maintenant ca ?
Merci
re : Des qsuestions de cours (Algèbre) Posté le 25-06-08 à 15:33
Posté le 25-06-08 à 15:33Posté par Camélia Camélia
Tu viens de trouver que les éléments de SEP(4) sont de la forme (x,x,x). Il est naturel, mais pas obligatoire, de choisir (1,1,1) comme base de ce sous-espace.
Camélia Camélia Tu viens de trouver que les éléments de SEP(4) sont de la forme (x,x,x). Il est naturel, mais pas obligatoire, de choisir (1,1,1) comme base de ce sous-espace.
re : Des qsuestions de cours (Algèbre) Posté le 25-06-08 à 15:37
Posté le 25-06-08 à 15:37Posté par bizbiz bizbiz
et si on choisissait (2,2,2) ou (100,100,100)? ce sont aussi des vec.propres ?
bizbiz bizbizet si on choisissait (2,2,2) ou (100,100,100)? ce sont aussi des vec.propres ?
re : Des qsuestions de cours (Algèbre) Posté le 25-06-08 à 15:39
Posté le 25-06-08 à 15:39Posté par Camélia Camélia
Bien sur! par définition SEP(4) est l'ensemble de tous les vecteurs propres associés à la valeur propre 4.
Camélia Camélia Bien sur! par définition SEP(4) est l'ensemble de tous les vecteurs propres associés à la valeur propre 4.
re : Des qsuestions de cours (Algèbre) Posté le 25-06-08 à 15:42
Posté le 25-06-08 à 15:42Posté par bizbiz bizbiz
Donc pour remplir la 1ère colonne de la matrice de passage, on choisit :![\[\array{1\\1\\1}\]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\[\array{1\\1\\1}\])
peut-on choisir![\[\array{10\\10\\10}\]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\[\array{10\\10\\10}\])
?
bizbiz bizbizDonc pour remplir la 1ère colonne de la matrice de passage, on choisit :
peut-on choisir
re : Des qsuestions de cours (Algèbre) Posté le 25-06-08 à 15:44
Posté le 25-06-08 à 15:44Posté par Camélia Camélia
Oui, on peut! mais vu qu'on sera amené à l'inverser, on n'a pas trop intérêt à compliquer. En revanche il y a des cas ou (-1,-1,-1) peut être intéressant.
Camélia Camélia Oui, on peut! mais vu qu'on sera amené à l'inverser, on n'a pas trop intérêt à compliquer. En revanche il y a des cas ou (-1,-1,-1) peut être intéressant.
re : Des qsuestions de cours (Algèbre) Posté le 25-06-08 à 15:57
Posté le 25-06-08 à 15:57Posté par Camélia Camélia
Cette fois c'est de dimension 2. Les éléments sont de la forme
=x_1\(\begin{array}{r}1\\ 0\\ -1\end{array}\)+x_2\(\begin{array}{r}0\\ 1\\ -1\end{array}\))
donc les vecteurs e1-e3 et e2-e3 forment une base.
Cette base n'est pas unique! J'aurais pu exprimer x1 en fonction de x2 et x3.
Camélia Camélia Cette fois c'est de dimension 2. Les éléments sont de la forme
donc les vecteurs e1-e3 et e2-e3 forment une base.
Cette base n'est pas unique! J'aurais pu exprimer x1 en fonction de x2 et x3.
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