Forum : algèbre :
Divisibilité de dimension ...

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  posté le 25/06/2008 à 15:23Divisibilité de dimension ...
 posté par : monrow 
Bonjour,

un tout petit exo qui me bloque ...

Soient A et B deux matrices de . On suppose que  et que  est inversible.

Montrer que  !

Une petite piste ne sera pas de refus 

Merci 
  posté le 25/06/2008 à 15:30re : Divisibilité de dimension ...
posté par :  Camélia (Correcteur)
Bonjour

Etonnant! S'agit-il de matrices réelles? complexes? Je pose la question parceque A2-AB+B2 fait penser à une racine cubique de 1... Mais je ne le connais pas! Je réfléchis...
  posté le 25/06/2008 à 15:46re : Divisibilité de dimension ...
posté par : monrow 
Salut Camélia ! 

Ah oui, j'ai oublié de le préciser, ce sont des matrices réelles. 

Je l'ai trouvé très surprenant comme résultat aussi ! J'ai essayé de trouver des relation mais je n'ai pas su où utiliser la deuxième hypothèse sur l'inversibilité...

(A-B)²=-BA  (A+B)²=2AB+BA ... mais en vain ... sinon j'ai pas pu utiliser l'identité  à cause de la commutativité !

  posté le 25/06/2008 à 15:52re : Divisibilité de dimension ...
posté par :  Camélia (Correcteur)
Je ne sais pas, j'y réfléchirai...
  posté le 25/06/2008 à 22:18re : Divisibilité de dimension ...
posté par : monrow 
surement y aura une utilisation du déterminant à mon avis ...
  posté le 26/06/2008 à 12:06re : Divisibilité de dimension ...
posté par : jandri
Bonjour monrow.

Une indication:

calculer le produit  où .
  posté le 26/06/2008 à 12:53re : Divisibilité de dimension ...
posté par : monrow 
ah oui ! 

On montre d'abord que 

On a: 

Donc: 

On a: 

donc: 

Or: 

d'où: 

Finalement : 

Merci jandri et Camélia ! 
   posté le 26/06/2008 à 14:15re : Divisibilité de dimension ...
posté par :  Camélia (Correcteur)
Il n'y a vraiment pas de quoi...

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