Forum : probabilités :
Loi conditionnelle et espérance conditionnelle

Bonjour,

encore un 'tit problème!

Soit un couple de variables aléatoires réelles telle que la loi conditionnelle de sachant est la loi uniforme où .


1) Déterminer la densité de probabilité du couple et la loi marginale de

2) Calculer la densité conditionnelle de sachant .

3) En déduire et



Alors pour le 1) j'ai pensé à :




On a .

Mais , je vois pas trop ce que c'est!

Bonjour H_aldnoer,

La loi uniforme sur [0,x] a pour densité  (1/x)_[0,x], où désigne l'indicatrice (comment fais-tu le "1 large " que tu utilises pour les indicatrices ?).
Donc X peut prendre toutes les valeurs entre 0 et  + et pour chaque valeur x de X, Y peut prendre toutes les valeurs entre 0 et x.

Bonjour PIL,

donc est-ce que ?

(pour le "1 large" il faut taper en Latex \mathbb{1})

C'est ça :



Merci pour l'info-latex.

Donc j'en déduis que :


.

et je ne vois pas de simplification!

avec les indicatrices tu peux arranger,sinon,c'est ok

Par suite,


  : c'est quel type de loi ?

citation :
avec les indicatrices tu peux arranger

Comment ?



Pour le 2) je trouve que .
Je ne vois pas le en déduire du 3) !

t'es sur de loi marginale de Y???

C'est bien ?

non je te parle de la loi marginale de Y

tu integres par rapport à x la densité du couple!

Si je fais ce tu me dit je vais obtenir non ?
C'est quel type de loi ?

J'ai déjà, voir plus haut !
La j'en suis à la question 2) !

H_aldnoer, serais-tu d'accord d'écrire la densité du couple (X,Y) sous la forme



où D = {(x,y)| 0x<, 0yx} ?

Par suite, la loi marginale de Y a pour densité

citation :
C'est quel type de loi ?

>pourquoi tu poses tout le temps cette question??
on s'en turlupine de savoir quelle type de loi c'est...tant qu'on a son expression

sinon,PIL t'a donné ce que je voulais te faire dire

sorry,Robby...

no soucy!!

Très bien!


Pour la suite, a-t-on que ?

J'ose à peine te poser cette question (Robby est là !) : reconnais-tu cette loi ?

C'est une loi exponentielle de paramètre ?

citation :
J'ose à peine te poser cette question (Robby est là !)

En revanche je ne comprend pas le "en déduire" qui suit

ma question c'était pour la loi marginale de Y ...

pourla loi conditionele :



Es-tu d'accord ?

Pour la loi marginale de \Large{Y} ?


J'ai et ceci ne correspond pas à la densité d'une loi exponentielle ?


Ensuite, je ne comprend pas l'indicatrice dans , sinon je suis d'accord avec l'expression

PIL> vas-y
moi j'ai 3 topics qui m'attendent
j'ai du pain sur la planche!!

Oui, la loi marginale de Y est bien la loi exponentielle.

Pourquoi l'indicatrice de [y,[ ?  As-tu dessiné le domaine D ?  C'est le secteur du plan (x,y) situé entre l'axe réel positif et la demi-droite "y=x, x positif". Donc si tu fixes y, les x vont de y à l'infini.

Ok, à la prochaine Robby !

Ok!

Donc je suis d'accord avec ton expression.
Donc ensuite, ?

citation :
Ok, à la prochaine Robby !

>A trés trés bientot

Tu remplaces par ce que tu as trouvé pour f_X|Y :

Il ne manque pas un "x" dans ta dernière expression PIL ?

Oui, il manque un x !
J'ai trouvé  E[X|Y=y] = y + 1/.

Ok!


Donc ?

C'est bien ça !

Par contre je ne vois pas que faire de !

Comme il est dit dans l'énoncé "en déduire ", je pense qu'il faut utiliser la relation  E[XY] = E[YE[X|Y]], ce qui te donne E[Y(Y+(1/)] = ...

il manque une ")" : E[Y(Y+(1/))]

On a donc ?

Mais non, tu as trouvé E[X|Y] = Y + 1/; il n'y a rien à changer à ça .
Tu ne peux pas déduire de E[XY] = E[XZ] que Y=Z ( c'est un peu comme le produit scalaire, si j'ose ...)

Ok,


donc je fais le calcul de ?

Oui, et tu te souviens que Y suit une loi exponentielle de paramètre .

Oui,


j'ai donc et et donc

J'ai trouvé comme toi, ça doit être bon !

citation :
il faut utiliser la relation  E[XY] = E[YE[X|Y]]

Je ne saisi toujours pas ceci par contre!

E[XY]=E[E[XY|Y]]=E[YE[X|Y]]