Systéme d'équations, congruences

Posté par cyrius cyrius

Bonjour,
j'ai un système à résoudre :

4x + 7y 10[20]
5x + 14y 18[20]

Si quelqu'un avait une piste pour que je trouve, en cherchant, merci !

Posté par mikayaou mikayaou

bonjour

en bidouillant je trouve x=14(20) et y=2(20)

mais :
¤ je n'en suis pas sûr ( je n'ai pas vérifié l'exhaustivité)
¤ je manque de rigueur pour te l'expliquer comme exemple à suivre

si ça peut te donner une idée pour la marche à suivre...

Posté par Drysss Drysss


4x+7y=10(20)
8x+14y=0(20)

On soustrait :
3x=-18(20)
3x=2(20)

on envisage tout les cas :
x=1(20), ca marche pas,
x=2(20), ca marche pas
.... ca marche pas
x=14(20), ca marche
... , ca marche pas.

Donc x=14(20)

De meme pour y (tu le fais).

Mais après, il faut montrer que c'est vrai dans l'autre sens : condition nécessaire, mais est elle suffisante?
Donc après tu dis : si x=14(20) et y=..(20), alors
4x+7y= .... ....
5x+14y= ... ....

Et si c'est bon, tu peux conclure.

Posté par cyrius cyrius

il n'y a pas d'autres méthodes que de tester ?

Posté par Drysss Drysss

Si, surement, mais si tu veux pas tout rédiger sur ta copie, tu mets "par disjonction de cas, je trouve que 3x=2(20) seulement quand x=14(20)

Et en réalité, c'est souvent plus rapide comme ca qu'en cherchant une manière plus élégante (que je ne vois pas ici).

Posté par apaugam apaugam

pour montrer l'unicité pour x il suffit de remarquer que 3 est inversible modulo 20 car 3 est premier avec 20 dans ( identité de Bezout) :

Donc
pour calculer y on a besoin d'inverser 7 et cela tombe bien car c'est justement l'inverse de 3.