Forum : analyse :
Equation différentielle y'=ay

Bonjour,
j'ai résolu une équation différentielle:
2Y'-3Y=0 Y'=3/2Y
D'où les solutions sur R de cette équation sont:
    Yk(x)= ke^3/2x. (k réel).Pour la solution du livre c'est bon.

Mais, pour l'équation différentielle:
2y'-y=0
Pour Moi, les solutions sur R sont:
yk(x)= ke^1/2x avec k réel.

Par contre, la solution du livre c'est : yk(x)=e^(1/2x+k) et yk(x)=-e^(1/2x+k)
La multiplication est par e^k et non par k. Pourtant k et e^k sont différent.
Sinon, merci de m'expliquer pourquoi e^k au lieu de k.

salut

2y'=y
soit I un intervalle de R tel que y ne s'annule pas sur I


y'/y = 1/2

on intègre

ln|y| = (1/2)t + k

|y| =  exp( (1/2)t + k)

donc les solutions sont :


y(t) =  exp( (1/2)t + k)

ou

y(t) =  -exp( (1/2)t + k)

Bonsoir.



où K est une constante strictement positive

Bonjour,
Merci pour la réponse.
Sur le principe qu'une constante K est quelconque oui.
Mais k est un réel qui peut être nul.
Par contre e^k non. Je pense ?

Bonjour,
f(x)dx = F(x) + C
Je ne vois pas pourquoi e^((1/2)t+k) et non pas e^(1/2)t + k. Merci

regarde ma réponse de 19:09

salut Raymond

2y' - y = 0

a)
y = 0 (fonction nulle convient)

b) si y est différent de 0, alors:
y'/y = 1/2

ln|y| = (1/2)t + k
y(t) = +/- e^((1/2)t + k)

Les solutions de 2y'-y = 0 sont :
a) f(t) = 0

b) f(t) = e^((1/2)t + k)

c) f(t) = - e^((1/2)t + k)
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On peut montrer que ces 3 familles de solutions sont équivalentes à f(t) = K.e^(1/2x) avec K réel quelconque.

En effet :

f(t) = e^((1/2)t + k) = f(t) = e^k * e^((1/2)t)
et en posant e^k = K1 : f(t) = K1 * e^((1/2)t) (Avec K1 > 0)

f(t) = - e^((1/2)t + k) = f(t) = - e^k * e^((1/2)t)
et en posant e^k = K1 : f(t) = -K1 * e^((1/2)t) (Avec K1 > 0)

En regroupant les 2 solutions, il vient f(t) = K2 * e^((1/2)t) avec K2 réel de R*.

Et en regroupant avec la solution f(t) = 0 (fonction nulle), il vient:
f(t) = K * e^((1/2)t) avec K un réel quelconque.
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Sauf distraction.

Bonjour,
Merci à vous tous. c'est clair. A+