formule de "somme parallèle"

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formule de "somme parallèle"

Posté le 26-06-08 à 16:37

Posté par Maurice33

Bonjour!!

Je suis en pleines révisions de combinatoire et je me rends compte que j'utilise fréquemment une formule, que par ailleurs je n'arrive pas à démontrer..
Il s'agit de la formule de "somme parallèle" :

_0kn C_x+k^k = C_x+n+1ⁿ

J'imagine qu'il faut utiliser dans un premier temps la symétrie des coefficients binomiaux puis remarquer une propriété au sein du triangle de Pascal.. mais pour le moment ce n'est pas très clair pour moi..
Voilà..si quelqu'un avait une piste à me donner ce serait très sympa!!
Merci d'avance!
Bonne journée!

désolé..

Posté le 26-06-08 à 16:45

Posté par Maurice33

En fait je viens de trouver une âme charitable..et par récurrence ça se fait en dix secondes..
Désolé et merci quand même!!
Bonne journée!

re : formule de "somme parallèle"

Posté le 26-06-08 à 17:44

Posté par lafol

Bonjour
je voulais te proposer une récurrence, mais je vois que ça a déjà été fait

re : formule de "somme parallèle"

Posté le 26-06-08 à 22:04

Posté par elhor_abdelali

Bonjour ;

On peut aussi utiliser la formule de $\scr Pascal$ : $5$\fbox{m,p\in\mathbb{N}\;,\;1\le p<m\\C_{m}^{p}=C_{m-1}^{p}+C_{m-1}^{p-1}}$
qui pour $4$\fbox{m=x+k+1\;,\;p=k\\x\in\mathbb{N}\;,\;k\in\mathbb{N}^*}$ donne $5$\fbox{C_{x+k}^{k}=C_{x+k+1}^{k}-C_{x+k}^{k-1}}$ d'où par téléscopie
$4$\fbox{\Bigsum_{k=0}^{n}\;C_{x+k}^{k}=C_{x+0}^{0}+\Bigsum_{k=1}^{n}\;C_{x+k}^{k}=1+\Bigsum_{k=1}^{n}\;C_{x+k+1}^{k}-C_{x+k}^{k-1}=1+C_{x+n+1}^{n}-1=C_{x+n+1}^{n}}$

_{(sauf erreur bien entendu)}

re : formule de "somme parallèle"

Posté le 27-06-08 à 16:02

Posté par Maurice33

Merci beaucoup pour cette solution.. Je sentais bien que ce cher Pascal y était aussi un peu pour quelque chose..!!

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