AB diagonalisable et rg(AB)=rg(BA)

Posté par zobobo zobobo

Bonjour

je sais montrer que AB et BA ont meme valeurs propres. Pourquoi si AB diagonalisable et rg(AB)=rg(BA), alors BA est diagonalisable? Cela revient à se demander pourquoi les sous espaces propres de ces valeurs propres communes ont meme dimension ??


Merci

Posté par perroquet perroquet

Bonjour, zobobo

Voici une démonstration du fait que "les sous-espaces propres de ces valeurs propres communes ont même dimension. "


Soit une valeur propre non nulle de AB et le sous-espace propre associé. La restriction de B à ce sous-espace propre est injective, parce que:
si Bx=0, alors  ABx=0 donc donc x=0 (parce que )

Tout élément de est un vecteur propre pour BA puisque, avec des notations évidentes  
contient donc un sous-espace vectoriel de dimension égale à la dimension de , et il est donc de dimension supérieure ou égale à la dimension de

AB et BA jouant un rôle symétrique, on a de même:     .
Les deux sous-espaces propres ont donc même dimension.


Dans le cas où est valeur propre de AB ou BA , les deux sous-espaces propres associés ont même dimension puisque    rg(AB)=rg(BA)

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Salut tout le monde,

Une manière beaucoup plus violente de répondre à cette question dans le cas où k est infini: . (Poste 2).


Ayoub.

Posté par perroquet perroquet

Bonjour, 1 Schumi 1

Attention.
Il ne s'agit pas de démontrer que AB et BA ont même polynôme caractéristique.
Il s'agit de montrer que les sous-espaces propres E_a(AB) et E_a(BA) ont même dimension (résultat qui est faux pour la valeur propre nulle lorsque AB et BA n'ont pas même rang).