Forum : algèbre :
équation du second degré à 2 inconnues

Bonjour à tou-te-s,

Quelque peu béotien en la matière, je souhaiterais savoir comment simplifier, sinon résoudre, l'équation suivante, pour une valeur entière de n donnée, bien sûr (et a pouvant être égal à b) :

(an - a² )/(6a - 1) = (bn + b² )/(6b + 1)

plus largement, ce qui m'intéresse, c'est une méthode qui (sans forcément avoir à effectuer le calcul pour chaque valeur de n) permette de savoir si, pour une valeur entière de n donnée, il existe ou non des valeurs entières de a et de b qui satisfassent à l'équation.
d'ailleurs si chacun des membres de l'égalité telle que je l'ai, maladroitement, posée, a une solution entière, ce sera la même de chaque côté.
il suffit de tester chaque membre indépendamment l'un de l'autre pour savoir s'il a une solution entière, mais je me demandais s'il n'était pas plus productif de partir de la mise en équation des deux membres...

est-ce envisageable ?

édit Océane : forum modifié

0 est une valeur entière.

b = 0 permet a = 0 et n entier quelconque
b = 0 permet aussi a = n

Donc il existe des valeurs entières de a et de b qui satisfont l'équation quelle que soit n, ce sont (entre autres): b = 0 et a = n

Ce n'est probablement la réponse attendue, mais si des restrictions existent sur les valeurs entières qu'on peut donner à a et à b, il faut le préciser dans l'énoncé.

Sauf distraction.

bonjour

(an - a² )/(6a - 1) = (bn + b² )/(6b + 1)

a diff 1/6 et b diff -1/6

( 6ab+a)n-a²(6b+1) = ( 6ab-b )n+b²(6a-1)

(a+b)n = 6ab(a+b)+(b-a)(b+a) = (a+b)( 6ab+b-a )

à discuter selon a et b...

A vérifier, aussi

Salut, j'arrive apar implication (a+b)(6ab+a-b-n)=0
Soit résoudre avec a=-b ou dire que n=b-a-6ab et vérifier

La question précisée dans la seconde partie du problème était :

"savoir si, pour une valeur entière de n donnée, il existe ou non des valeurs entières de a et de b qui satisfassent à l'équation"

La réponse est OUI, et c'est fini. (sauf précison supplémentaire sur a et b comme je l'ai indiqué).

Remarque:
sans l'avoir écrit, j'étais arrivé à :
a = -b ou bien n = 6ab+a-b

Ce qui ressemble aux réponses précédentes mais est quant même différent (différence de signe).

Mais je n'ai rien vérifié.

citation :
j'arrive apar implication

Simon, maintenant que tu es bachelier, si tu te mettais à faire un effort en français ?

eh bien ! c'est avec joie que je lis des réponses si rapides et si attentives !

une précisions : ma question n'est pas tant de savoir s'il existe des solutions à l'égalité en tant que telle (en passant, je suis bien parti de 6ab-a+b pour la construire), mais quel est l'algorithme qui permettrait de répondre à la question : si n=tel entier, existe-t'il des valeurs entières de a (de b) pour lesquelles (an - a² )/(6a - 1) a une solution entière.

comme la solution est alors la même pour (an + a² )/(6a + 1), je me suis demandé si la mise en équation de ces deux polynômes ne pouvait pas (lorsque l'on connaît un peu mieux son algèbre que moi...) faciliter la réponse !

ex. : si n = 13, les valeurs entières sont a = 2 et b = 1, le résultat du calcul de chacun des membres étant 2 (en excluant la solution triviale où a et b sont égaux à n, ce qui donne 0).

par contre, si n = 9, a ni b ne sont entiers (mis à part la solution triviale a=b=n).

(PS : je ne voudrais surtout pas être cause de trouble orthographique entre les membres du forum !)

bonjour
(an - a² )/(6a - 1) = (bn + b² )/(6b + 1)
en essayant le produit en croix :
6abn+an-6a²b-a² = 6abn + 6b²a - bn - b²
6ab² + 6a²b -bn -an + a² - b² = 0
(6ab)(a+b) - n(a+b) + (a-b)(a+b) = 0
(a+b)(6ab-n+a-b = 0)
a = -b
ou
n = 6ab+a-b
par exemple avec a = 2 et b = 1 : n = 13 et 22/11 = 14/7

tout à fait d'accord avec toi, plumemeteore !
je cherche justement une méthode pour savoir si n est factorisable en 6ab-a+b, car, et this is the point, si tel est le cas, 6n-1 n'est pas premier mais composé (produit d'autres nombres de la forme 6n+-1.

en fait, pour vendre tout à fait la mèche, il s'agit d'un test de primalité (je suis en fait retombé sur la formule de Maria Suzuki, 36ab-6a+6b qu'elle utilise pour les nombres premiers jumeaux) :

tout nombre premier est de la forme 6n-1 (ou 6n+1, mais chacune des demi-droites définies par l'un ou l'autre idéal est le prolongement de l'autre avec n négatif). mais je préfère travailler sur 6n-1, car chaque nombre y est un produit de ceux de ces deux demi-droites, alors que sur 6n+1, on ne trouve que les produits de 6n-1 par 6n-1 ou de 6n+1 par 6n+1

tout nombre de la forme 6n-1 pour lequel (an - a2 )/(6a - 1) a une solution entière n'est pas premier, mais produit d'autres nombres de la forme 6n+-1.

il suffit donc de calculer le polynôme, avec toutes les valeurs de a de 1 à racine de n, ce qui est une certaine forme d'économie par rapport au crible d'Eratosthène, car on élimine d'emblée tous les multiples de 2 et de 3 (grâce à 6), mais ça reste très long !

l'idée était que la mise en équation pouvait permettre, sans avoir à calculer une par une chaque valeur de a (ou de b), de déterminer si le polynôme a une solution entière.

il me semblait que de telles méthodes existaient, mais comme elles me semblent au-delà de mes faibles moyens mathématiques...

J'ai clairement montré que b = 0 et a = n répondait à l'énoncé.

Comme ignu prèfère ignorer ma réponse, et ne veut pas préciser les exigences qui existent sur a et b et bien tans pis.

Dire que a et b sont des entiers sans autre précision, permet de dire qu'il y a TOUJOURS des solutions.

Si a et b doivent être des entiers rationnels strictement positifs et donc exclure les entiers négatifs et 0, il faut le dire.

loin de moi, cher J-P, la volonté d'ignorer ta salutaire contribution ! preuve en est que j'ai mentioné cette solution triviale où chaque membre égale 0 avec a=n (et donc -b).
il ne faut imputer cette impression qu'à ma naïveté : j'en suis confus, aux deux sens du terme, hélas !

la contrainte est donc que a et b soient entiers (relatifs) et différents de 0.

ce problème de décidabilité n'est pas soluble pour les ensembles récursifs diophantiens, mais, ici, il y a toujours une solution qui permet d'arrêter l'algorithme à 0. je me demande donc s'il existe un algorithme de décidabilité pour ce type d'ensemble plus simple, qui évite d'avoir à calculer toutes les valeurs de a et b une par une...