Forum : trigonométrie :
une égalité lié au noyau de Dirichlet
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posté le 27/06/2008 à 16:05une égalité lié au noyau de Dirichlet
posté par : robby3Bonjour tout le monde,
juste une question rapide:
D'ou vient le fait que:
=\frac{1}{2}+\Bigsum_{l=1}^k cos(l\omega)=\frac{sin([k+1/2]u)}{2sin(u/2)}})
Merci d'avance de votre aide
juste une question rapide:
D'ou vient le fait que:
Merci d'avance de votre aide
posté le 27/06/2008 à 16:14re : une égalité lié au noyau de Dirichlet
posté par : H_aldnoer 
Hey robby!
voila ce que j'ai trouvé :
=\Bigsum_{l=-k}^0exp(ilw)+\Bigsum_{l=1}^k exp(ilw))
on a dans la première somme que
d'ou 
.
on effectue le changement
de variable pour obtenir que :
=\Bigsum_{u=0}^k exp(-iuw))
D'ou=\Bigsum_{l=0}^k exp(-ilw)+\Bigsum_{l=1}^k exp(ilw)=1+\Bigsum_{l=1}^k exp(-ilw)+\Bigsum_{l=1}^k exp(ilw)=1+\Bigsum_{l=1}^k [exp(-ilw)+exp(ilw)]=1+2\Bigsum_{l=1}^k cos(lw))
Et par suite,=\frac{1}{2}+\Bigsum_{l=1}^k cos(lw))
.
voila ce que j'ai trouvé :
on a dans la première somme que
on effectue le changement
D'ou
Et par suite,
posté le 27/06/2008 à 16:18re : une égalité lié au noyau de Dirichlet
posté par : 
lafol (Correcteur)Bonjour
première égalité = formule d'Euler, cos(x) = (exp(ix) + exp(-ix))/2
deuxième égalité : on part du membre de gauche qui est la demi somme de termes d'une suite géom de raison exp(iw) et de premier terme exp(-ikw)
la somme vaut\omega}}{1-e^{i\omega}} =\fr{e^{-ik\omega}-e^{(k+1)\omega}}{1-e^{i\omega})
.
l'astuce consiste à tout multiplier en haut et en bas par
pour reconnaître des sinus
première égalité = formule d'Euler, cos(x) = (exp(ix) + exp(-ix))/2
deuxième égalité : on part du membre de gauche qui est la demi somme de termes d'une suite géom de raison exp(iw) et de premier terme exp(-ikw)
la somme vaut
l'astuce consiste à tout multiplier en haut et en bas par
posté le 27/06/2008 à 16:18re : une égalité lié au noyau de Dirichlet
posté par : lafol (Correcteur)bonjour H_aldnoer
posté le 27/06/2008 à 16:19re : une égalité lié au noyau de Dirichlet
posté par : H_aldnoer Bonjour lafol.
posté le 27/06/2008 à 16:20re : une égalité lié au noyau de Dirichlet
posté par : robby3OK
Merci à tout les deux!
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