Forum : algèbre :
Sous groupe

Bonsoir,

Soit (G,*) un groupe et H et K des sous groupes de G.

On pose

Montrer que H*K est un sous groupe de G ssi H*K=K*H

<--- Supposons que H*K=K*H

Montrons que pour tout x et y dans H*K, on a x*y appartenant à H*K

On a



Or H*K=K*H donc

Puisque H est un ss groupe de G alors



Est ce juste ou tout faux ?
Sinon, comment faire pour montrer que l'inverse appartient bien à H*K ?

Merci

Skops

Bonsoir,

ça me parait OK.

pour l'inverse :



non ?

oups, j'ai inversé les k et les h, mais bon, ça marche pareil.

Bonsoir

Merci d'avoir répondu

Ah effectivement, j'avais oublié cette relation, j'essaye

Skops

Ah juste un truc, pourquoi ?

Skops

non non ce n'est pas ce que j'ai écrit ! C'est égal à h'*k' donc k_1*h_1

h' ?

Skops

J'ai compris

Skops

pardon, j'étais sur le chat!

Il n'y a pas de mal

Skops

Bonsoir

Attention, le fait que HK = KH ne veut pas dire que les éléments de H et de K commutent !
Tu ne peux pas échanger le produit d'un élément de H par un élément de K, tu peux juste dire que c'est le produit d'un (autre) élément de K par un (autre) élément de H.

De plus, il suffit d'"échanger" les deux du milieu et c'est immédiat :


Fractal

Salut

Donc ca veut dire quoi HK=KH ?

Skops

Ça veut dire H*K = K*H, j'ai pas l'habitude de les noter avec une étoile au milieu

Fractal

Heu...

Comment tu décrirais l'ensemble KH ?

Skops

Ben,
C'est la même chose que HK, mais dans l'autre sens ^^

Fractal

Ok ^^

T'aurais une piste pour la première équivalence ?

Skops

Pour le produit c'est ce que je viens de dire, et pour l'inverse c'est ce que Mariette a dit.
C'est l'autre sens de l'équivalence qui te gêne?

Fractal

Oui, celle où on suppose que H*K est un ss groupe, pour montrer HK=KH

Skops

Tu sais que HK est un groupe, et tu veux trouver des trucs à propos de KH.
Or, en prenant l'inverse d'un produit, on échange les termes.
Tu devrais pouvoir y arriver à partir de là

Fractal

J'ai montré que tout élement de HK appartenait aussi à KH mais je ne sais pas si c'est suffisant...

Skops

A priori il faut faire les deux inclusions, et je ne vois pas pourquoi l'inclusion inverse serait plus difficile à faire.

Fractal

Non c'est bon en fait

Merci

Skops

De rien

Fractal