Forum : algèbre :
famille libre de fonctions

Bonsoir

E est l'espace prehilbertien des fonctions de R dans R. Soit (f1, . . . , fn) une famille libre de fonctions de E. Montrer qu'il existe des reels x1,...,xn tels que la matrice de coefficients fi(xj) soit inversible.

soit des coeffs a_i tels que la somme des a_i*fi=0.
en appliquant à n réels x_i quelconques la somme des a_i*fi, j'ai un systeme de n équations de determinant celui de la matrice de coefficients fi(xj). ce det est non nul puisqu'il y a unicité de la solution (la solution nulle), d'où  la matrice de coefficients fi(xj) est inversible.

Il y a surement une erreur de raisonnement puisque je montre cette matrice est inversible quelque soit les coefs x_i que je choisis, mais je ne vois pas où est mon erreur.

MERCI

Bonjour,

Juste une remarque en passant :  il est possible que les fi aient un zéro commun; tu ne pourras pas prendre ce zéro dans ta liste de xi !
Préhilbertien : comment ? pourquoi ?

Démo initiale : soit des coeffs a_i tels que la somme des a_i*fi=0.

erreur : A priori on ne connait pas l'existence de tels a_i à part le cas évident où tous les a_i sont nuls.

Démo initiale : en appliquant à n réels x_i quelconques la somme des a_i*fi, j'ai un systeme de n équations de determinant celui de la matrice de coefficients fi(xj).

erreur : Oui mais si les a_i sont solutions de ce système cela n'implique pas Donc on ne peut en conclure que les sont tous nuls.

Démo initiale : ce det est non nul puisqu'il y a unicité de la solution (la solution nulle), d'où  la matrice de coefficients fi(xj) est inversible.

erreur : il n'y a donc pas unicité de la solution nulle.

Voilà donc deux erreurs dans le raisonnement. Il faut trouver d'autres arguments.

On sait d'avance que mes a_i sont nuls puisque la famille des fi est libre...

quand on sait que pour variant de 1 à n cela n'implique pas que comme fonction car cette somme peut être non nullee pour une autre valeur de x. Donc on ne peut utiliser la liberté des



(on ne sait pas que ) pour en déduire la nullité des

Bonjour,

Un premier pas : n=2.
Hypothèse : f1, f2 sont linéairement indépendantes.
On veut montrer l'existence de x1 et x2 tels que  det[fi(xj)] 0.
Il existe x1 tel que f1(x1) 0.
Si pour tout x2 on a det[fi(xj)] = 0, alors f1(x1)f2(x2)=f1(x2)f2(x1), donc aussi  f2(x2) = (f2(x1)/f1(x1)) f1(x2), autrement dit : f2=f1, ce qui contredit l'hypothèse !

C'est le premier pas d'une récurrence.
Il suffit de pouver par récurrence sur n la phrase
Si (f1, . . . , fn) est une famille libre de fonctions de E alors il existe des reels x1,...,xn tels que la matrice de coefficients fi(xj) soit inversible.

Pil vient de prouver le premier pas de cette récurrence n=2.
Supposons cette proposition démotrée pour n
Pour passer à n+1 il suffit de commencer par
Soit (f1, . . . , fn+1) est une famille libre de fonctions de E .

Mais alors (f1, . . . , fn) est une famille libre .Donc il existe des reels x1,...,xn tels que la matrice de coefficients fi(xj) soit inversible.
On veut montrer l'existence de tels que  .
Si ces n+1 réels n'existent pas
alors, en particulier, pour tout xn+1 det des pour j variant de 1 à n+1 est nul.

Je te laisse le soin de finir la démonstration  comme PIL l'a fait pour passer de 1 à 2