déterminant difficile

Posté par karim karim

Bonjour,
je suis face à un problème avec les déterminants, et il a bien l'air difficile:
Soit n dans N.calculer le déterminant de la matrice de Mn(R), définie par :
(x+(i-1)n+j) pour i et j variant de 1 à n
Merci d'avance pour votre aide

Posté par monrow monrow

Salut !

je n'ai pas terminé mes calculs, mais utiliser la multilinéarité du déterminant n'aboutit à rien?

Posté par raymond raymond

Bonjour.

Appelons C_j la colonne n°j. Pour j compris entre 2 et n, soustrais C_j - C₁.

Posté par karim karim

Bonsoir raymond et monrow,
la méthode basée sur la soustraction ne me permet pas d'aboutir. Dois-je utiliser le binome de Newton?

Posté par raymond raymond

Pour éviter d'écrire en LaTeX, je me permets de noter les colonnes en ligne.

C₁ : [ x+1 , x+n+1 , x+2n+1 , ... , x+(i-1)n+1 , ... , x+(n-1)n+1 ]

C_j : [ x+j , x+n+j , x+2n+j , ... , x+(i-1)n+j , ... , x+(n-1)n+j ]

Donc,

C_j - C₁ : [ j-1 , j-1 , j-1 , ... , j-1 , ... , j-1 ]

Ainsi, dès que n > 2, ce déterminant possède au moins deux colonnes proportionnelles, donc est nul.