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Matrices, valeurs propres, suites

   
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maths supMatrices, valeurs propres, suites

#msg1925333 Posté le 28-06-08 à 15:56
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Bonjour

Je suis tombé sur un ptit sujet de concours de cette année que j'ai trouvé intéressant, j'ai essayé de répondre aux premières questions mais je ne suis âs sûr de mes réponses.
Merci de me filer un coup de main !


Citation :
On considère la matrice 3$M=\(\array{0&0&-1\\0&1&1\\1&1&-1\). On désigne par 3$I la matrice unité de 3$\mathcal{M}_3({\bb R}).

1. Montrer que 3$M possède une unique valeur propre réelle 3$\lambda, et que 3$\lambda est comprise entre 1 et 2.

2. Soit 3$\sigma une valeur propre complexe, non réelle, de 3$M. Calculer 3$\lambda|\sigma|^2^ et comparer les réels 3$|\sigma|, 3$\lambda et 3$\fr{1}{\sqrt2

3.a) Montrer que 3$I, 3$M et 3$M^2 sont linéairement indépendants dans l'espace vectoriel 3$\mathcal{M}_3({\bb R}).

3.b) Calculer 3$M^3 et l'exprimer comme combinaison linéaire à coefficients entiers de 3$I et 3$M.

3.c) En déduire qu'il existe deux entiers 3$\alpha et 3$\beta tels que, pour tout entier 3$n>0, 3$M^{n+3}\,=\,\alpha M^{n+1}\,+\,\beta M^n.
(Par convention 3$M^0 = I et 3$M^1 = M.)

Pour tout entier 3$n > 0, on pose 3$u_n = Tr(M^n) et 3$v_n = cos(\pi u_n).

4.a) Pour 3$0\le n\le10, calculer 3$u_n et 3$v_n.

4.b) Montrer que la suite 3$(v_n)_{n\in\bb N est périodique, et préciser sa période.

4.c) Montrer que la suite 3$(w_k)_{k\in\bb N définie par 3$w_k = \Bigsum_{n=0}^kv_n n'est pas bornée.

5.a) Exprimer 3$u_n en fonction de 3$\lambda, 3$\sigma et 3$n.

5.b) La suite 3$(y_k)_{k\in\bb N définie par 3$y_k=\Bigsum_{n=0}^k \cos(\pi\lambda^n) est-elle bornée ?


Jusqu'à la 4.b) ça va, mais après ça se corse pas mal ^^

Ce que je dirais :

1) Le polynôme caractéristique de 3$M est 3$p(X)=\det(XI-M)=\det\(\array{X&0&-1\\0&X-1&1\\1&1&X-1\)=\fbox{p(X)=X^3-X-1.

Les 3 racines complexes de 3$X^3-X-1 sont exactement les valeurs propres de 3$M.

Je définis la fonction 3$f par 3$\forall x\in{\bb R},\;f(x)=x^3-x-1. Ainsi 3$f'(x)=3x^2-1 et 3$f'(x)=0\Leftright\{x=\fr{1}{\sqrt3}\\\rm{ou}\\x=-\fr{1}{\sqrt3

Or 3$\|f\(\fr{1}{\sqrt3}\)<0\\f\(-\fr{1}{\sqrt3}\)<0 donc il existe une unique valeur réelle \lambda telle que 3$f(\lambda)=0. De plus, 3$f(1)<0<f(2) donne 3$\lambda\in]1,2[.

3$\rm\fbox{Conclusion : M possede une unique valeur propre reelle \lambda, avec 1<\lambda<2

2) Si 3$\sigma est racine de 3$X^3-X-1 alors 3$\bar{\sigma l'est aussi. Les relations coeff-racines donnent 3$\lambda.\sigma.\bar{\sigma}=\fbox{\lambda|\sigma|^2=-\fr{-1}{1}=1

De plus, la condition 3$1<\lambda<2 donne 3$\fr12<^|\sigma|^2<1 et 3$\fbox{\fr{1}{\sqrt2}<|\sigma|<1

3.a) C'est immédiat : on suppose uI+vM+wM² = 0 et on montre que u=v=w=0

3.b) On a facilement 3$\fbox{M^3=M+I (de toute façon le poly caractéristique est annulateur donc 3$M^3-M-I=0 sans calculs, non ?)

3.c) Les réels 3$\alpha et 3$\beta sont les mêms pour tout 3$n\in{\bb N, donc pour 3$n=0. Donc 3$\alpha=\beta=1.
Et 3$\fbox{\forall n\in{\bb N},\;M^{n+3}\,=\,M^{n+1}\,+\,M^n

4.a)
3$\rm u_0=Tr(M^0)=Tr(I)=3 \\ u_1=Tr(M)=0 \\ u_2=Tr(M^2)=2 \\ u_3=Tr(M^3)=Tr(M+I)=3 \\ u_4=Tr(M^4)=Tr(M^2+M)=2 \\ u_5=Tr(M^5)=Tr(M^3+M^2)=5 \\ u_6=Tr(M^6)=Tr(M^4+M^3)=5 \\ u_7=Tr(M^7)=Tr(M^5+M^4)=7 \\ u_8=Tr(M^8)=Tr(M^6+M^5)=10 \\ u_9=Tr(M^9)=Tr(M^7+M^6)=12 \\ u_{10}=Tr(M^{10})=Tr(M^8+M^7)=17                  3$\rm v_0=\cos(3\pi)=-1 \\ v_1=\cos(0\pi)=1 \\ v_2=\cos(2\pi)=1 \\ v_3=\cos(3\pi)=-1 \\ v_4=\cos(2\pi)=1 \\ v_5=\cos(5\pi)=-1 \\ v_6=\cos(5\pi)=-1 \\ v_7=\cos(7\pi)=-1 \\ v_8=\cos(10\pi)=1 \\ v_9=\cos(12\pi)=1 \\ v_{10}=\cos(17\pi)=-1

4.b) On voit que la suite 3$(v_n) est périodique de période 7, mais comment le montrer ? En faisant une grosse récurrence sur la parité de Tr(Mn) ?


Merci de m'avoir lu

PS : Ou bien si vous avez directement le corrigé de X PC 2008 ...
re : Matrices, valeurs propres, suites#msg1925347 Posté le 28-06-08 à 16:15
Posté par Profilinfophile infophile

Salut

Par linéarité de la trace on montre que 3$ \rm u_{n+7}=2(u_{n+1}+u_{n+2})+u_n

Ca peut servir ^^
re : Matrices, valeurs propres, suites#msg1925349 Posté le 28-06-08 à 16:17
Posté par Profilinfophile infophile

Ah ben oui ça règle le problème par 2\pi périodicité du cosinus.
re : Matrices, valeurs propres, suites#msg1925350 Posté le 28-06-08 à 16:17
Posté par Profilinfophile infophile

Je te laisse continuer mon guigui
re : Matrices, valeurs propres, suites#msg1925352 Posté le 28-06-08 à 16:20
Posté par Profilgui_tou gui_tou

salut kévin

Ok, donc on a fastochement 3$v_{n+7}=\cos\(\pi(2(u_{n+1}+u_{n+2})+u_n)\)=\cos(\pi u_n)=v_n !

Mais comment tu as trouvé la relation 3$ \rm u_{n+7}=2(u_{n+1}+u_{n+2})+u_n ?
re : Matrices, valeurs propres, suites#msg1925353 Posté le 28-06-08 à 16:21
Posté par Profilinfophile infophile

Utilise la relation trouvé à la 3.c)
re : Matrices, valeurs propres, suites#msg1925357 Posté le 28-06-08 à 16:29
Posté par Profilgui_tou gui_tou

okédac j'ai trouvé !

La suivante maintenant

merci
re : Matrices, valeurs propres, suites#msg1925377 Posté le 28-06-08 à 16:47
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Citation :
4.c) Montrer que la suite 3$(w_k)_{k\in\bb N définie par 3$w_k = \Bigsum_{n=0}^kv_n n'est pas bornée.


En remarquant que 3$w_6 = \Bigsum_{n=0}^6v_n=-1, la 7-périodicité de 3$(v_n) donne que 3$\forall i\in{\bb N},\;\Bigsum_{n=7i}^{7i+6}v_n=-1

Comment montrer proprement que la suite 3$(w_k)_{k\in\bb N n'est pas bornée ?
re : Matrices, valeurs propres, suites#msg1925388 Posté le 28-06-08 à 16:53
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Salut,

Ta remarque ne suffit elle pas à prouver que w_(7k-1)=-k?

re : Matrices, valeurs propres, suites#msg1925393 Posté le 28-06-08 à 16:56
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Méthode bourrine :

3$w_k=-E(\fr{n}{7})+\Bigsum_{n=j}^kv_n   où   3$\fbox{0\le j=n-E(\fr{n}{7})<7

Lorsque 3$n\to+\infty, le terme 3$-E(\fr{n}{7}) tend vers 3$-\infty et 3$-6\le\Bigsum_{n=j}^kv_n\le6

Donc 3$\fbox{w_n\longright_{n\infty}-\infty

re : Matrices, valeurs propres, suites#msg1925396 Posté le 28-06-08 à 17:02
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Hello Ayoub

Si .. mais je suis mal à l'aise avec ça On voit qu'une suite extraite de wn tend vers -oo, mais les autres ?

Mon dernier post est une horreur :

3$w_k=-E(\fr{k}{7})+\Bigsum_{n=j}^kv_n   où  3$\fbox{j=k-r\\0\le k-j<7 avec r le reste de la div euclidienne de k par 7
re : Matrices, valeurs propres, suites#msg1925397 Posté le 28-06-08 à 17:06
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Yo Guillaume

Tu as une sous-suite qui diverge vers plus l'infini, ça suffit pour prouver que la suite n'est pas bornée. Ca veut pas dire qu'elle diverge elle même vers -oo mais ça répond à la question. Si une suite est bornée, toute ses sous suites le sont également, non?

re : Matrices, valeurs propres, suites#msg1925398 Posté le 28-06-08 à 17:08
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Oui tu as raison

Je réfléchis à la 5.a)

Merci vous deux
re : Matrices, valeurs propres, suites#msg1925975 Posté le 29-06-08 à 20:07
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Mini up
re : Matrices, valeurs propres, suites#msg1926357 Posté le 30-06-08 à 14:39
Posté par ProfilFractal Fractal

Salut

Je dis peut-être une bêtise, mais on sait que deux matrices semblables ont même trace, et puisque M a trois valeurs propres distinctes (dans C) elle est diagonalisable (dans C).
Donc 3$u_n = \lambda^n + \sigma^n+\bar{\sigma}^n

Fractal
re : Matrices, valeurs propres, suites#msg1928023 Posté le 03-07-08 à 12:07
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Salut Guillaume

Non non tu ne dis pas de bêtises ; pour te dire j'ai même compris ton raisonnement (pourtant c'est pas courant )

Une idée pour la suivante ?

5.b) La suite 3$(y_k)_{k\in\bb N définie par 3$\Bigsum_{n=0}^k\cos(\pi\lambda^n) est-elle bornée ?

Selon Maple, elle divergerait vers 3$-\infty. La démo est hors de ma portée ?

Merci
re : Matrices, valeurs propres, suites#msg1929037 Posté le 04-07-08 à 19:49
Posté par Profilgui_tou gui_tou

up
re : Matrices, valeurs propres, suites#msg1940386 Posté le 28-07-08 à 21:18
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Entre temps j'ai demandé sur forum.prepas.org et j'ai eu ma réponse ^^

En fait c'est tout bête.

On montre facilement que la suite 3$(y_k)_{k\in\bb N définie par 3$y_k=\Bigsum_{n=0}^k\cos(\pi\lambda^n) est de même nature que la suite
3$(y_k)_{k\in\bb N définie par 3$w_k = \Bigsum_{n=0}^kv_n=\Bigsum_{k=0}^n\cos(\pi u_n)

Avec du recul, ça se voit, puisque 3$u_n = \lambda^n + \sigma^n+\bar{\sigma}^n et de plus 3$|\sigma|^n et 3$|\bar{\sigma}|^n tendent vers 0 quand 3$n\to+\infty

Soit 3$n\in\bb N

3$z_n=\cos(\pi u_n)-\cos(\pi \lambda^n) \\ z_n=-2\sin\[\fr{\pi}{2}(2\lambda^n+\sigma^n+\bar{\sigma}^n)\]\sin\[\fr{\pi}{2}(\sigma^n+\bar{\sigma}^n)\]


Les majorations 3$|sin u|\le |u| et 3$\sin u\le 1 valables pour tout 3$u réel donnent :


3$|z_n|\ \le\ 2\times\sin\[\fr{\pi}{2}(2\lambda^n+\sigma^n+\bar{\sigma}^n)\]\times\|\fr{\pi}{2}(\sigma^n+\bar{\sigma}^n)\| \\ |z_n|\ \le\ \pi\times(|\sigma|^n+|\bar{\sigma}|^n)

Avec l'encadrement 3$\fbox{\fr{1}{\sqrt2}<|\sigma|<1, on a que   3$\rm\blue\fbox{la somme des \sigma^n converge absolument

3$\magenta\rm\fbox{Donc la somme des z_n aussi, 3$\rm\fbox{donc en particulier \Bigsum z_n est bornee egale a un reel A

Donc au final 3$\Bigsum_{n=0}^k\cos(\pi \lambda^n)\ =\ \Bigsum_{n=0}^k\cos(\pi u_n)\ +\ A

3$\rm\red\fbox{\fbox{Puisque le terme de droite diverge, la suite (y_k)_{k\in{\bb N}} diverge egalement.
re : Matrices, valeurs propres, suites#msg1940387 Posté le 28-07-08 à 21:22
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Merci à dSP et HyneX

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