théorème de Banach-Steinhaus

Posté par romu romu

Bonjour,

il y encore une preuve de wiki qui me pose problème .

Soit un espace de Banach et un ev normé. On considère une famille d'applications linéaires continues de dans ,
et on suppose que cette famille est ponctuellement bornée.

On pose , qui est fermé.

La famille est ponctuellement bornée, donc .

n'est pas d'intérieur vide et comme c'est un espace de Baire, il existe un entier tel que soit d'intérieur non vide,
autrement dit il contient une boule de centre et de rayon .

On prend un point dans la boule unité fermée. Pour tout , on a



là je ne vois pas comment montrer cette dernière inégalité, je suis d'accord qu'on a , mais je ne vois pas pourquoi .

Merci pour votre aide

Posté par Tigweg Tigweg

Salut romu,

effectivement ça me paraît être une erreur.
Il faire apparaître un vecteur dont la différence à a est de norme au plus r pour se servir de la boule de centre a et de rayon r.

Je propose donc de remplacer le dernier calcul par:


.

Cela me semble concluant puisqu'on peut en déduire que la famille    est uniformément bornée par la constante        

Posté par romu romu

Salut Greg,

ça me va aussi, merci

Posté par Tigweg Tigweg



->J'espère bien!!

Pas de quoi

Posté par Tigweg Tigweg

J'ai modifié la page sur Wikipédia.J'espère qu'il n'y a pas de problème dans ce que j'ai proposé!

Posté par romu romu

j'ai cherché un peu plus de mon côté, j'avais déjà repéré une preuve dans le Rudin Analyse réelle et complexe (mais il passait par les ouverts et ça n'a pas l'air d'être une preuve duale de celle de wiki). Sinon je viens d'en trouver une dans le Brezis Analyse fonctionnelle, il majore comme ça aussi et dans la version anglaise de l'article sur wiki ils procèdent aussi comme ça,
donc je pense qu'il n'y a pas de souci

Posté par Tigweg Tigweg

Ok, parfait dans ce cas!

Par contre je viens de voir la version anglaise de wiki, ils procèdent de façon un peu différente tout de même (sur la forme en tout cas).Bon, moralement c'est la même chose, on est d'accord!

Posté par stokastik stokastik

Tigweg tu modifies les pages sur wiki ? Comment ça marche ?

J'avais repéré une preuve qui me semblait un peu limite sur wiki... je vais essayer de retrouver ce que c'était si ça t'intéresse.

Posté par stokastik stokastik

Bizarre c'est sur ce topic que j'avais émis des doutes sur la preuve du "théorème de réduction simultanée" donnée par wikipédia. Mais maintenant je ne trouve plus ce théorème sur wikipédia

Posté par Tigweg Tigweg



Il suffit de cliquer sur "modifier", de changer le corps du texte, de prévisualiser et de confirmer.C'est tout!

Peut-être la preuve dont tu parles était-elle effectivement douteuse et a-t-elle été supprimée justement.Ce qui est curieux, c'est qu'elle n'ait pas été remplacée par une preuve convaincante!
Si ça te tente, tu sais comment faire!