Classe d'une connexité

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Bonsoir à tous,

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer ce qu'est la classe d'une connexité? Plus précisemment que signifie par exemple qu'une partie d'un espace métrique est connexe par arcs ? (Prenez Rⁿ pour simplifier si vous voulez)
Wiki m'éclaire pas trop (du tout?)...

Merci d'avance.


Ayoub.

Posté par romu romu

Salut Ayoub,

une partie d'un espace vectoriel normé (complet? ) est connexe par arcs , si tu peux joindre deux points quelconque de par un chemin de classe en restant sur (on impose une certaine régularité au chemin, mais je ne crois pas qu'on peut étendre cette condition aux espaces métriques, il faut une notion de dérivabilité).

Dans ce cas la notion connexe par arcs correspond à la notion de connexe par arcs .

Posté par Ksilver Ksilver

Salut !


la classe ne ce refaire pas à la conexité mais aux "arcs"
Sur un espace métrique ca veut rien dire, mais sur une variété (ou une partie de R^n) ca veut dire que deux point sont toujour relié par un arc C infinit.


en revanche on fera attention que "etre relié par un arc C infinit" n'est pas une relation d'équivalence, et donc il n'y a pas forcement de composante conexe pour ce type de conéxité... (contrairement à la conéxité ou la conéxité par arc classique...)

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Salut tout le monde

Merci à vous deux. Mais j'en viens à une autre question qui y est reliée: quelle défintion donner à "f est de classe C^k". Autrement dit, comment définit-on la dérivation sur des variétés? De manière "naturelle" ou... ?

Posté par Ksilver Ksilver

Salut !


Une variété c'est pas définition un espace ou tous point admet un voisinage difféomorphe à un ouvert de R^n. donc toute fonction de (ou à valeur dans ) la variété peut etre localement vue comme une fonction de (ou à valeur dans) R^n. c'est à ce titre qu'on peut définir ca classe de régularité.

de facon général, toute  notion qui est : 1) local, 2) invariante par les Ck difféomorphisme. prend automatiquement un sens sur les variété de classe Ck...

mais ceci dit, on ne peut pas définir des "plus réguliere que la variété" (sur une variété Ck, ca n'as aucun sens de dire qu'une fonction est C(k+1) ).

Posté par Ksilver Ksilver

euh petit lapsus :" un voisinage difféomorphe à un ouvert de R^n. " na aucun sens puisqu'on a pas encore définit ce qu'est etre C1 pour des fonction à valeur dans R^n. les voisinages sont justes Homéomorphe, mais avec des application de changement de cartes qui sont bien Ck...

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Je crois que je commence à comprendre...