Etude de fonction - comment commencer ici?

Posté par Houlyzen Houlyzen

Bonjour,

j´ai on peu de problèmes pour commencer cet exercice, il sera gentil si qqn pourra me dire comment je procède pour le point 1. et 3.:


On considère la fonction f définie sur R \ {1} par :
f(x) = (−2x^2 + 3x − 9/1 - x)

1. Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition Df .
Montrer ensuite que :
lim x→+∞ [f(x) − 2x + 1] = 0 et
lim x→−∞ [f(x) − 2x + 1] = 0.
En déduire que Cf a deux asymptotes D1 et D2 dont on donnera les équations.

2. Calculer la dérivée f′ de f. En déduire le tableau de variations de f.

3. Déterminer l'équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 2. Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de T avec l'axe des abscisses ?



Au point 1, je ne sais vraiment pas comment faire.
Le point 2 ne consiste pas un problème.
Au point 3, je ne sais pas trop si c´est juste ce que je veux faire, calculer la tangente et après utiliser (t0) pour définir les points d´intersections?

Merci!

Posté par matovitch matovitch

Bonjour !

Bon déjà tu as :

Posté par matovitch matovitch

euh non !
lim f(x) = -
x-> -

Posté par matovitch matovitch

Après tu as f(x)-2x+1 = (x-9)/(1-x)+1

et comme lim (x-9)/(1-x)=-1
                 x ->

Bref tu conclut...

Posté par Houlyzen Houlyzen

Merci, je vais essayer cela après que j´ai fini un autre exercice

Posté par Houlyzen Houlyzen

Désolé, mais je ne sais pas comment tu arrives à (x-9)/(1-x)+1...
Pourrais-tu m´éclairer cela s.t.p?

Posté par Mariette Mariette

Bonjour,

matovicth a repéré des facilités de calcul, mais tu peux aussi simplement effectuer une mise au même dénominateur :



et la dernière forme te permet de trouver la limite très simplement

Posté par J-P J-P

1

f(x) = (-2x²+3x-9)/(1-x)

Le discriminant de -2x²+3x-9 = 0 est < 0 et donc (-2x²+3x-9) a le signe de son coefficient en x² (soit négatif) quelle que soit la valeur de x sur R\{1}

lim(x -> -oo) f(x) = 0
lim(x -> +1-) f(x) = -oo
lim(x -> +1+) f(x) = +oo
lim(x -> +oo) f(x) = 0

f(x) - 2x+1 = (-2x²+3x-9)/(1-x) - 2x+1
f(x) - 2x+1 = (-2x²+3x-9-(1-x)(2x-1))/(1-x)
f(x) - 2x+1 = (-2x²+3x-9-2x+1+2x²-x)/(1-x)
f(x) - 2x+1 = 8/(1-x)

lim(x-> -oo) [f(x) - 2x+1] = lim(x-> -oo) [8/(1-x)] = 0
lim(x-> +oo) [f(x) - 2x+1] = lim(x-> +oo) [8/(1-x)] = 0
---
De :
lim(x -> +1-) f(x) = -oo
lim(x -> +1+) f(x) = +oo
On déduit que la droite D1 d'équation x = 1 est asymptote verticale à Cf

De :
lim(x-> -oo) [f(x) - 2x+1] = 0
lim(x-> +oo) [f(x) - 2x+1] = 0
On déduit que la droite D2 d'équation y = 2x - 1 est asymptote oblique en -oo et en +oo à Cf
-----
...

Sauf distraction.

Posté par Houlyzen Houlyzen

Merci, je vais refaire l´exo et comparer mon résultat avec les votres.

Posté par lafol lafol

Bonjour
je ne comprends pas ce que fait matovitch : en quoi le calcul de la dérivée donne t-il des indications sur les limites de la fonction non dérivée

Posté par J-P J-P

2)

f '(x) = ((1-x)(-4x+3)-2x²+3x-9)/(1-x)²
f '(x) = (-4x+3+4x²-3x-2x²+3x-9)/(1-x)²
f '(x) = (2x²-4x-6)/(1-x)²
f '(x) = 2(x²-2x-3)/(1-x)²
f '(x) = 2(x+1)(x-3)/(1-x)²

f '(x) > 0 pour x dans ]-oo ; -1[ --> f(x) est croissante.
f '(x) = 0 pour x = -1
f '(x) < 0 pour x dans ]-1 ; 1[ --> f(x) est décroissante.
f '(x) n'existe par en x = 1
f '(x) < 0 pour x dans ]1 ; 3[ --> f(x) est décroissante.
f '(x) = 0 pour x = 3
f '(x) > 0 pour x dans ]3 ; +oo[ --> f(x) est croissante.

Il y a un maximum local de f(x) pour x = -1, ce max vaut f(-1) = -7
Il y a un minimum local de f(x) pour x = 3, ce min vaut f(3) = 9

Il y a tout ce qu'il faut dans les points 1 et 2 pour faire le tableau de variations de f.
-----
3)

f(2) = 11
f '(2) = 2*3*(-1)/(-1)² = -6

T: y = (x-2)*(-6) + 11
T : y = -6x + 23

Elle rencontre l'axe des abscisses pour -6x + 23 = 0 --> x = 23/6
Soit au point P(23/6 ; 0)
-----
Sauf distraction.

Posté par matovitch matovitch

Lafol >> Bonjour, je fais tout le temps à ma façon, sans rigueur...

On a :

Donc :

d'où : y = 2x + p asymptote oblique.

Et donc :



^{Au fait, JP a fait bien mieux que moi pour la 1...}

Posté par littleguy littleguy

Bonjour

matovitch : l'idée est intéressante mais riquée dans la rédaction.

avec   tu écrirais

, donc

donc asymptote oblique d'équation y=2x+p ???

Une direction asymptotique, mais pas d'asymptote sauf erreur.

Sur l'exemple de Houlyzen si tu es capable de décomposer f '(x) en éléments simples, pourquoi ne pas le faire directement avec f(x) ? Et tel qu'est posé le problème la dérivée est demandée à la question suivante.... En l'infini factoriser numérateur et dénominateur chacun par son terme de plus haut degré puis simplifier me paraît - en première - tout à fait raisonnable.
.

Posté par lafol lafol

Matovitch, il peut y avoir des directions asymptotiques sans asymptote ! (voir la courbe de la fonction racine, qui admet une branche parabolique de direction (Ox) mais aucune asymptote horizontale)

Posté par matovitch matovitch

littleguy >>

je ne comprends pas bien la différence entre "direction asymptotique" et "asymptote". Si c'est l'ensemble de définition, il n'y a qu'a vérifié.

Sinon, tu as raison pour décomposé f(x)...comme JP non ?

Posté par matovitch matovitch

ouops ! oui ! merci lafol!
Je vais essayer de voir la différence de comportement des dérivée pour voir s'il y a une particularité.