Morphismes du groupe symétrique vers C

Posté par monrow monrow

Salut

Un exercice que je pense bête et où je bloque

Déterminer les morphismes du groupe vers


Merci

Posté par Tigweg Tigweg

Salut monrow!
.
Commence par observer que l'image de par un tel morphisme est un sous-groupe fini de , donc que c'est le groupe des racines p èmes de l'unité avec .

Observe ensuite que l'image de toute transposition vaut nécessairement 1 ou -1, et que cela reste donc vrai pour l'image de toute permutation.Conclus

Posté par monrow monrow

Salut mon tigre !

1) Oui, c'est clair que l'image de Sn est un sous groupe fini de (C*,x). Mais est-ce que le groupe des racines pième de l'unité est le seul sous groupe fini de C*? :s

2) On considère une transposition s. on a s²=Id. On appelle f un tel morphisme, on a: f(t)²=1 donc f(t)=+/-1

Posté par Tigweg Tigweg

1)Oui, car tout sous-groupe fini du groupe des inversibles d'un corps est cyclique, et tout sous-groupe cyclique de (C*,x) est engendré par une racine p ème de l'unité, où p est l'ordre du groupe.

2)Oui

Posté par monrow monrow

Bon ok. On sait que les transpositions engendrent le groupe cyclique.

On considère une permutation quelconque s

on a:

si f(t)=1 on a: f(s)=1 pour tout N. f est  l'application qui à s associe 1.
si f(t)=-1 on a: f est la signature.

c'est rigoureux comme raisonnement?

Posté par Tigweg Tigweg




->du groupe des inversibles d'un anneau commutatif, pardon!


Qu'appelles-tu t dans ton raisonnement?

Posté par monrow monrow

je voulais dire avec

mais est ce qu'elles vont avoir toutes la même image par s? :s

Posté par monrow monrow

par f ...

Posté par Tigweg Tigweg

Voilà, c'est toute la question!

Avant de t'intéresser à cela, conclus sur l'ensemble des choix possibles pour

Posté par monrow monrow

Aucune idée ! et j'ai pas trop  compris

Posté par Tigweg Tigweg

Tu sais que l'image d'une transposition par f vaut soit 1, soit -1.
En utilisant le fait que toute permutation est un produit de transpositions, que peut-on en déduire?

Posté par monrow monrow

que l'image appartient à {-1,1}...

Posté par Tigweg Tigweg

est incluse plutôt!Donc que c'est {1} ou {-1;1}.Le premier cas se réalise ssi f est l'identité.

De plus, on peut relier ces deux possibilités à l'image par f des transpositions.

Déjà, convaincs-toi que si toute  transposition a pour image 1, alors f=id.

Es-tu convaincu?

Posté par monrow monrow

je ne suis pas encore convaincu !

_{je suis bête ! je sais}

Posté par Tigweg Tigweg

Mais non!

Suppose que toute transposition ait pour image 1.

Soit p une permutation.Comment prouver que f(p)=1?

Posté par monrow monrow

on décompose la permutation en un produit de transposition. On aura alors f(p)=1

Posté par Tigweg Tigweg

Oui!Donc tu es convaincu?

Posté par monrow monrow

ah oui ! je disais n'importe quoi ! je voyais autrement

Posté par Tigweg Tigweg

OK!

Passons donc à l'autre cas possible, c'est-à-dire au cas où l'on suppose qu'il existe une transposition t d'image -1 par f.Il faut prouver que f est égale à l'application "signature".

Posté par monrow monrow

je vois pas trop ce qu'il faut faire ...

Posté par Tigweg Tigweg

Essaie de prouver que Ker f coïncide avec l'ensemble des permutations paires.

Cela prouvera exactement ce qu'on cherche.

Pour cela, que peut-on dire de Ker f dans ce cas précis?

Posté par monrow monrow

Ah oui ! tout est clair maintenant !

Merci tigre !

Posté par Tigweg Tigweg

Ah? Quel est ton argument?

Posté par Tigweg Tigweg

Bon je te laisse réfléchir, je vais bientôt éteindre l'ordinateur.
Bonne soirée et à bientôt monrow!

Posté par monrow monrow

voilà ce que j'ai dit:

p€Ker(f) <=> f(p)=1

p s'écrit sous la forme d'un produit de N transpositions, donc f(p)=(-1)^N

N est alors pair et donc Ker(f) coïncide avec les permutations paires

J'ai bien peur que ça soit foireux ...

Posté par monrow monrow

Oups !

Bonne nuit Tigweg !

Posté par Tigweg Tigweg

Re monrow!



->Erreur de raisonnement, on ne sait pas encore que l'image par f de toute transposition vaut -1.

Je repose ma question d'hier: que dire de Ker f?

Posté par monrow monrow

Re Tigweg !

Sérieusement je ne vois plus comment montrer que Ker(f) est l'ensemble des permutations paires !

Posté par Tigweg Tigweg

Quel est son cardinal?

Posté par monrow monrow

n!/p ?

j'ai utilisé le thm de rang pour les groupes : card(E)=card(Ker(f))*card(Im(f))

Posté par Tigweg Tigweg

Oui mais que vaut p d'après ce qu'on a fait avant?

Posté par monrow monrow

2 oui ...

j'avoue que je suis bouleversé

le cardinal de Ker(p) est donc n!/2

Posté par Tigweg Tigweg

Bouleversé?Mal réveillé peut-être lol!

On a appelé f le morphisme, donc en effet |Ker f|=n!/2 .

De plus Ker f est distingué dans .

Quels sont les sous-groupes distingués de pour

Posté par monrow monrow

Et voilà pourquoi je me disais que je comprend plus rien !

Les sous groupes distingués ne sont pas au programme de prépas !

Bon onn continue alors avec ça

Le seul sous groupe distingué de Sn pour n > 4 est le groiupe alterné

ainsi Ker(f)=An est donc c'est le groupe des permutations paires !!!

Ainsi on a aussi si je ne m'abuse: et hop ça se démontre

j'espère bien que ça ne va pas être faux sinon y a un balcon à côté de moi par lequel je vais me balancer ....

Posté par Tigweg Tigweg



->Où as-tu pris cet exercice?




->Il y a aussi {id} et mais il ne conviennent pas pour des raisons de cardinal.




->Oui, en tout cas pour Pour on vérifie qu'aucun autre sous-groupe que n'a pour cardinal .

Pour conclure il est inutile de parler d'image:

       signifie       .

On connaît ainsi l'image de toute permutation par f.




->Réserve-toi pour une plus belle occasion, ce serait dommage de te faire du mal pour un exercice sur le groupe symétrique!

Posté par Tigweg Tigweg

Pardon, je rectifie:


->Pour on vérifie qu'aucun autre sous-groupe distingué de (et pas de ) n'a pour cardinal .

Posté par monrow monrow

C'est un exercice de prépa ! Résoluble en spé ou m^me en sup

Exercice 4 ici :

J'ai pas encore compris leur correction ...

Posté par Tigweg Tigweg

Ah oui mille excuses c'est beaucoup plus simple ainsi, je n'avais pas pensé à cela!

Je t'explique:

tout le problème vient de fait qu'on aimerait prouver que toutes les transpositions ont pour image 1, ou que toutes les transpositions ont pour image -1.

Pour cela, il suffit en effet de prouver que toute transposition      a même image que la transposition         .

Un résultat élémentaire (et très utile!) dit que pour toute permutation p et tout cycle       , on a    


On a        , donc il existe         tel que      .

On applique alors f (et le fait que c'est un morphisme de groupes) à l'égalité       pour en déduire que:  

  


Cette égalité entre nombres réels s'écrit bien:


.

Posté par monrow monrow

euuuh, on peut pas dire que si alors (car on travaille avec des complexes, ou m^me des réelles) avec t=(1    2)?

Posté par Tigweg Tigweg

Si, c'est même une partie de ce que je viens d'expliquer.

Posté par monrow monrow

là je comprend biieen !

Merci mon plus grand tigre au monde !

Posté par monrow monrow

En fait, je veux bien démontrer le résultat utile que tu m'as donné, on n'a pas ça sur le cours

Posté par Tigweg Tigweg



->Lol! Avec plaisir



-> Regarde déjà l'image de p(a1) par l'application écrite dans le membre de droite de l'égalité        puis par celle du membre de gauche.

Posté par monrow monrow

Voilà c'est démontré !

Merci encore

Posté par Tigweg Tigweg

OK!Avec plaisir!

Posté par Tigweg Tigweg

J'avais commencé par écrire que tout sous-groupe fini du groupe des inversibles d'un corps est cyclique, et j'avais ensuite corrigé en remplaçant "corps" par "anneau commutatif".

Finalement j'ai un doute, je vais vérifier mais il me semble que c'est la première version qui était la bonne.
De toute façon, on ne s'est pas servi de ce résultat!

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Greg >>



La première version est vraie, c'est connu. Par contre, si l'autre version est vraie et que tu retrouves la démo, je suis tout à fait prenant. (J'ai un vrai doute si l'anneau n'est pas intègre ceci dit...)

Posté par Tigweg Tigweg

Ayoub> Oui tu as raison, je me suis laissé emporter par mon optimisme!

Le résultat en question ne semble être vrai que pour le groupe des inversibles d'un corps.

Posté par Tigweg Tigweg

Enfin pour tout sous-groupe d'ordre fini de ce groupe, plutôt.