Fonction et application

Posté par Jonny512 Jonny512

Bonsoir,
En reprenant les définitions des mots fonction et injection, j'en suis venu à me demander si une fonction n'était pas toujours injective?
De même une application est-elle toujours bijective?

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Bonjour,

f(x)=x² définie sur R une fonction... qui n'est pas injective. Et une application... qui n'est pas bijective.

Posté par Jonny512 Jonny512

Merci beaucoup pour cet exemple qui a le mérite d'être simple et riche en enseignement à la fois!

Posté par lafol lafol

Bonjour
Jonny, les définitions se ressemblent un peu, mais pour fonction et application, on commence par "tout x de l'ensemble de départ" alors que pour injection et bijection, on commence par "tout y de l'ensemble d'arrivée"

Posté par apaugam apaugam

Je ne suis pas d'accord avec lafol
injective signifie
pour tout , pour tout

où E désigne l'ensemble de départ.

De manière plus intuitive : la seule manière d'écrire proprement y a un "unique" antécédent est de dire
quel que soient "les antécédents" dans l'espace de départ
d'un y pas quelconque (puisqu'il est atteint par f) de l'espace d'arrivée,
ces antécédents coincident.

Posté par lafol lafol

Je ne pensais pas à cette formulation mais à "pour tout y de l'ensemble d'arrivée, il existe au plus un x de l'ensemble de départ tel que y=f(x)"..... qui fait le pendant de fonction : "pour tout x de l'ensemble de départ, il existe au plus un y de l'ensemble d'arrivée en relation avec x, en cas d'existence effective on note y = f(x)"

Posté par apaugam apaugam

Effectivement on peut exprime l'injectivité en disant
"pour tout y de l'ensemble d'arrivée, il existe au plus un x de l'ensemble de départ tel que y=f(x)"
mais cette expression prête souvent à confusion car l'expression il existe au plus signifie
soit il n'existe aucun x
soit, s'il existe un x et un x', nécessairement x=x'
autrement dit la démonstration de " il existe au plus un x " n'est aucunement une preuve d'existence.
pour démontrer ce " il existe au plus un x " on suppose (hypothèse auxiliaire) qu'il en existe deux et on prouve leur égalité.
Si l'on écrit en langage formalisé les deux formulations, en désignant par E l'ensemble de départ et par F celui d'arrivée, on voit aisément la différence de complexité.




On voit, de plus, sur la deuxième expression, qu'un changement de l'ensemble d'arrivée ne modifie pas l'injectivité.

La situation risque moins de prêter à confusion pour la définition d'une application car on demande rarement de démontrer qu'on a bien une application et dans ce cas,
pour tout x de l'ensemble de départ, on a à prouver l'existence effective d'un y unique correspondant à x. Ceci est beaucoup plus facile car c'est analogue à la démarche de résolution d'une équation ayant une unique solution.

Posté par lafol lafol

Je suis bien d'accord, mais si Jonny posait cette question, c'est sans doute parce qu'il était tombé sur cette définition qui prête à confusion. il était alors important de souligner la différence entre les définitions de "relation fonctionnelle- application" et de "injection,- bijection" qui se ressemblent tant pour des débutants.

il est clair que cette définition avec "il existe au plus" est dans la pratique quasi inutilisable (sauf cas de petits ensembles et relations données via un diagramme sagittal éventuellement), mais on la trouve dans bon nombre de livres, et à mon avis souvent trop éloignée de la traduction qu'on utilise en pratique, f injective <==> on ne peut pas avoir f(x) = f(x') sans avoir x = x'

Posté par apaugam apaugam

Il ne reste plus qu'a espérer que Jonny512 ait mieux compris toutes ces définitions et techniques de démonstration grâce à ce dialogue, puisque c'est le but du forum.

As tu encore des questions sur le sujet Jonny ?