Exo défi : Lemme d'Urysohn

Posté par Fractal Fractal

Bonjour à tous

Un petit résultat intéressant de topologie que je viens de découvrir, et que je vous présente sous forme d'exercice.
Ne cherchez pas la démo sur Google ou Wiki si vous souhaitez participer, parce que vous la trouverez sans problème ^^

Déf : Un espace topologique X est dit normal si pour tous fermés disjoints F et F' il existe deux ouverts disjoints U et U' tels que U contienne F et U' contienne F'.

1°) Montrer qu'un espace métrique (dont la topologie découle d'une distance) est normal.

Lemme d'Urysohn : Soit X un espace topologique. Alors X est normal ssi pour tous fermés A et B disjoints de X il existe une application continue f : X -> [0,1] dont la restriction à A (resp B) est la fonction constante égale à 0 (resp 1)

2°) Montrer l'implication réciproque du lemme d'Urysohn.
3°) Montrer l'implication directe dans le cas d'un espace métrique.
4°) On s'intéresse maintenant à l'implication directe dans le cas général, A et B sont deux fermés disjoints de X
a) Pour tout rationnel dyadique r de ]0,1[ (rationnel dont le dénominateur est une puissance de 2), construire un ouvert U(r) tel que pour tout r, U(r) contient A et soit disjoint de B, et que si r < s, alors l'adhérence de U(r) est contenue dans U(s).
Indication :

b) Conclure

Bonne recherche

Fractal