Reste de 121^1256 dans la division par 7
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Reste de 121^1256 dans la division par 7
Posté le 30-06-08 à 18:03
Posté par 
charmuzelle charmuzelle
Bonsoir à vous tous et toutes (rebonsoir à certains
)
Je dois trouver le reste de 121^1256 dans la division par 7.
Cet exercice vient juste après les règles de calcul sur les congruences et je pense qu'il va falloir appliquer :
si a
b [n] alors pour tout k entier naturel, 
[n]
Bien sûr, 121 est le carré de 11 et 11 4 [7]
Seulement, à l'étape
[7], je ne suis pas très avancée.
Bien sûr, 4 est lui aussi un carré parfait, mais que faire du reste par 7 de
?
Je fais sûrement fausse route.
Dois-je au contraire essayer de faire baisser les puissances ?
charmuzelle charmuzelleBonsoir à vous tous et toutes (rebonsoir à certains
)Je dois trouver le reste de 121^1256 dans la division par 7.
Cet exercice vient juste après les règles de calcul sur les congruences et je pense qu'il va falloir appliquer :
si a
Bien sûr, 121 est le carré de 11 et 11
Seulement, à l'étape
Bien sûr, 4 est lui aussi un carré parfait, mais que faire du reste par 7 de
Je fais sûrement fausse route.
Dois-je au contraire essayer de faire baisser les puissances ?
re : Reste de 121^1256 dans la division par 7 Posté le 30-06-08 à 18:29
Posté le 30-06-08 à 18:29Posté par charmuzelle charmuzelle
Cailloux, je suis désolée, je n'ai pas compris la dernière étape...
charmuzelle charmuzelleCailloux, je suis désolée, je n'ai pas compris la dernière étape...
re : Reste de 121^1256 dans la division par 7 Posté le 30-06-08 à 18:37
Posté le 30-06-08 à 18:37Posté par charmuzelle charmuzelle
...Il doit me manquer certaines connaissances, parce que je ne vois pas pourquoi un truc multiplié par une puissance d'un nombre qui est congru à 1 modulo 7 serait congru à ce truc modulo 7...
Merci Mariette, je vais bûcher...
charmuzelle charmuzelle...Il doit me manquer certaines connaissances, parce que je ne vois pas pourquoi un truc multiplié par une puissance d'un nombre qui est congru à 1 modulo 7 serait congru à ce truc modulo 7...
Merci Mariette, je vais bûcher...
re : Reste de 121^1256 dans la division par 7 Posté le 30-06-08 à 18:48
Posté le 30-06-08 à 18:48Posté par Tigweg Tigweg
Rebonsoir charmuzelle et bonsoir aux autres,
->C'est la compatibilité de la congruence avec la multiplication:
Si)
et si )
alors )
et )
Tigweg TigwegRebonsoir charmuzelle et bonsoir aux autres,
Citation :
, parce que je ne vois pas pourquoi un truc multiplié par une puissance d'un nombre qui est congru à 1 modulo 7 serait congru à ce truc modulo 7...
, parce que je ne vois pas pourquoi un truc multiplié par une puissance d'un nombre qui est congru à 1 modulo 7 serait congru à ce truc modulo 7...
->C'est la compatibilité de la congruence avec la multiplication:
Si
re : Reste de 121^1256 dans la division par 7 Posté le 01-07-08 à 17:32
Posté le 01-07-08 à 17:32Posté par charmuzelle charmuzelle
...Ici donc comme on a![2^3 \equiv 1 [7]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?2^3 \equiv 1 [7] )
on a donc![(2^3)^{418} \equiv 1^{418} [7]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?(2^3)^{418} \equiv 1^{418} [7] )
Mais comme
, ça donne ![(2^3)^{418} \equiv 1 [7]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?(2^3)^{418} \equiv 1 [7] )
et par conséquent![4 \times (2^3)^{418} \equiv 4 \times 1 [7]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?4 \times (2^3)^{418} \equiv 4 \times 1 [7] )
C'est là que mon prof de math sup se foutait gentiment de moi en disant "On ne peut rien vous cacher !"
Hem, ça ne coule pas de source pour moi. Voyons si j'ai compris sur cet autre exercice : il faut trouver le reste de la division euclidienne de 100177 par 3.
Comme 1001 = 999 + 2, on a![1001 \equiv 2 [3]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?1001 \equiv 2 [3] )
donc![1001^{77} \equiv 2^{77} [3]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?1001^{77} \equiv 2^{77} [3] )
donc![1001^{77} \equiv 2^{2 \times 38 + 1} [3]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?1001^{77} \equiv 2^{2 \times 38 + 1} [3] )
donc![1001^{77} \equiv (2^2)^{38} \times 2 [3]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?1001^{77} \equiv (2^2)^{38} \times 2 [3] )
donc![1001^{77} \equiv 4^{38} \times 2 [3]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?1001^{77} \equiv 4^{38} \times 2 [3] )
donc![1001^{77} \equiv 1^{38} \times 2 [3]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?1001^{77} \equiv 1^{38} \times 2 [3] )
donc![1001^{77} \equiv 2 [3]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?1001^{77} \equiv 2 [3] )
Le reste cherché est 2. Est-ce correct ? Vraiment, il va me falloir de l'entraînement. Je vous remercie tous, particulièrement mon deuxième fois sauveur dans la même journée Tigweg...
J'ai un autre exercice tout simple qui me pose problème, voir le nouveau post... Très bonne soirée à tous.
charmuzelle charmuzelle...Ici donc comme on a
on a donc
Mais comme
et par conséquent
C'est là que mon prof de math sup se foutait gentiment de moi en disant "On ne peut rien vous cacher !"
Hem, ça ne coule pas de source pour moi. Voyons si j'ai compris sur cet autre exercice : il faut trouver le reste de la division euclidienne de 100177 par 3.
Comme 1001 = 999 + 2, on a
donc
donc
donc
donc
donc
donc
Le reste cherché est 2. Est-ce correct ? Vraiment, il va me falloir de l'entraînement. Je vous remercie tous, particulièrement mon deuxième fois sauveur dans la même journée Tigweg...
J'ai un autre exercice tout simple qui me pose problème, voir le nouveau post... Très bonne soirée à tous.
re : Reste de 121^1256 dans la division par 7 Posté le 01-07-08 à 18:17
Posté le 01-07-08 à 18:17Posté par Tigweg Tigweg
Une petite remarque additionnelle:
c'est justement la compatibilité de la congruence avec l'addition et la multiplication de Z qui permet de définir une addition et une multiplication dans l'ensemble quotient Z/nZ, et ce pour tout n non nul.
Tigweg TigwegUne petite remarque additionnelle:
c'est justement la compatibilité de la congruence avec l'addition et la multiplication de Z qui permet de définir une addition et une multiplication dans l'ensemble quotient Z/nZ, et ce pour tout n non nul.
re : Reste de 121^1256 dans la division par 7 Posté le 02-07-08 à 18:32
Posté le 02-07-08 à 18:32Posté par charmuzelle charmuzelle
Oui, merci !! Justement j'en arrive à Z/nZ dans la leçon. Je vais peut-être pouvoir ensuite continuer à plancher sur le sujet d'Algèbre de l'agreg interne 2007. Avec un bon professeur comme toi, je progresse !
charmuzelle charmuzelleOui, merci !! Justement j'en arrive à Z/nZ dans la leçon. Je vais peut-être pouvoir ensuite continuer à plancher sur le sujet d'Algèbre de l'agreg interne 2007. Avec un bon professeur comme toi, je progresse !
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