A²+A-(p-1)I=J

Posté par zobobo zobobo

Bonjour

A est une matrice symetrique reelle, d'ordre n, à coeffs dans {0,1}, de trace nulle.
Il existe p entier non nul tel que A²+A-(p-1)I=J où I est l'identité est J la matrice avec que des 1.

Il faut montrer: n=p²+1.

J'ai essayé de passer à la trace, je trouve Tr(A²)=np, à part ca rien de spé

Help pleaaaaaaase

Merci

Posté par jeanseb jeanseb

Bonsoir

Je ne sais pas si c'est une bonne piste, mais trace nulle et coefficients dans {0,1} impliquent que toute la diagonale est nulle, non?

Après, tu peux peut-être voir ce qui se passe sur la diagonale, avec l'équation.

Posté par zobobo zobobo

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ce que j'ai trouvé, c'est que la matrice des A² n'est composée que de p sur la diagonale, celle de A a sa diagonale nulle.
d'ou sort ce p² ????????

Posté par perroquet perroquet

Bonjour, zobobo

L'idée de jeanseb est excellente.
Avec des  notations évidentes, sachant que A est symétrique:



On sait, comme tu l'as écrit, que les termes diagonaux de A^2 sont tous égaux à p. Comme tous les coefficients de A sont égaux à 0 ou à 1, on en déduit que chaque ligne de A a exactement p coefficients égaux à 1 et tous les autres coefficients nuls.

Notons maintenant v le vecteur dont toutes les composantes sont égales à 1. On a:

Av=pv

Jv=nv

En reportant tout ceci dans l'égalité   , on obtient:



D'où l'égalité:    





Ceci dit: des matrices A symétriques réelles, à coefficients dans {0,1} et vérifiant l'égalité     il n'y en a pas beaucoup. Je n'ai pas envie de les rechercher puisque ce n'est pas le but de l'exercice, mais je pense que les seules matrices vérifiant ce type d'égalité sont les matrices         et    (1)