Derivation/Geometrie - Parabole

Posté par mrousset mrousset

Salut !

J'ai un gros problème avec un exercice de maths... On doit tacher de démontrer que les rayons refletés par une parabole d'équation y=x^2 passent toujours par un point qu'on appelle F et après avoir démontré ça donner les coordonees de F...

Je ne sais pas si je m'explique bien... en tout cas j'attache une image.

(D) = rayon provenant de l'infini parallele à Oy
(T) = tangente à la parabole
(N) = Droite normale à la tangente en M
(D') = reflet de (D) par (T).

Posté par jamo jamo

Bonjour,

Soit M le point de la parabole d'abscisse a.

L'équation de la droite tangente est :

y=f'(a)(x-a)+f(a)

On a : f(a)=a² et f'(a)=2a

Donc l'équation de droite devient : y = 2a(x-a)+a² <==> y=2ax-a²

Maintenant il faut chercher l'équation de la perpendiculaire à cette droite.
Elle a une équation de la forme : y=mx+p

Je te laisse un peu réfléchir pour la suite.

Il faut commencer par chercher m (coefficient directeur d'une droite perpendiculaire à une droite de coefficient directeur 2a)

Puis ensuite, sachant que cette droite passe par M(a;a²), on trouve p.

Et si ça marche, p ne doit pas dépendre de a, ce qui signifie bien qu'il est fixe !

Posté par mikayaou mikayaou

bonjour

remarquer que pour des raisons de symétries de P : y=x², le point F se trouve sur Oy

En effet, si le rayon incident arrive selon Oy, il se réfléchit en O et "remonte" selon Oy ( puisque la tangente à P en O (0;0) est horizontale, le rayon incident étant vertical, le réfléchi le sera aussi )

Ainsi F est sur l'axe Oy

Posté par mikayaou mikayaou

Maintenant que tu connais l'abscisse de F, cherchons à déterminer son ordonnée

Pour cela, cherchons un point M tel que son rayon réfléchi soit horizontal ( le rayon incident étant toujours vertical arrivant en M )

Considérons, comme tu l'as fait, M avec une abscisse négative

ceci se passera quand la tangente à la courbe sera inclinée de -45° donc de pente -1 ; en effet, un rayon vertical se réfléchissant sur une surface inclinée à 45° produit un rayon réfléchi horizontal

comme y = x² , alors y' = 2x qui vaut -1 quand x vaut -1/2

et comme f(-1/2) = (-1/2)² = 1/4 , le point M a pour coordonnées ( -1/2 ; 1/4 )

Sauf erreur, le point F a pour coordonnées ( 0 ; 1/4 )

A vérifier

Posté par jacqlouis jacqlouis

    Bonjour Martin... Et n'oublie pas , si tu as vérifié que ce point F existe bien, c'est là qu'il faudra placer le récepteur de ton antenne parabolique de télé !...(ou le creuset de ton four solaire ! ).