[détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18

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 [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18 Posté le 01-07-08 à 11:59
Posté par mikayaou mikayaou

Bonjour,

Une tite JFF pour cette île qui vivote doucement...

Citation :

Sans calculer le premier membre, bien sûr, prouvez que :

Par ailleurs, je me demandais -toujours sans tableur ni programmation- comment déterminer N du dernier dénominateur pour ce produit soit inférieur au centième

Encore une fois, je précise :

¤ que j'espère qu'il n'y a pas d'erreur d'énoncé ( j'en ai déjà vues dans cette source )

¤ que je ne connais pas le niveau des outils nécessaires à sa résolution

¤ que je n'ai pas la soluce : je ne pourrai donc pas vous donner des axes de recherche ou confirmer -assurément- votre proposition

Au moins, pour le début, répondez en blanqué : les autres participants vous en remercient ...

Nota : 

N'hésitez pas à mettre, en blanqué, le détail de votre démonstration : ça me permettra d'y faire référence en mettant le lien pour présenter les différentes solutions proposées ( et ça me simplifiera l'a correction  )

Merci aux habituels des non blanqués ( dont je fais partie  ) d'utiliser le bouton Aperçu

.        

avant tout envoi : ça évitera les recours aux modos pour blanquer ce qui a été omis de l'être...

 re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18 Posté le 01-07-08 à 12:30
Posté par lafol lafol 

Bonjour
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Je ne sais pas si c'est utile, mais à gauche, ça peut s'écrire  ou  encore 
 re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18 Posté le 01-07-08 à 12:32
Posté par mikayaou mikayaou

ah oui, ... est-ce exploitable ?

 re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18 Posté le 01-07-08 à 12:33
Posté par lafol lafol 

je n'en sais rien, mais je réfléchirai mieux le ventre plein 
 re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18 Posté le 01-07-08 à 12:38
Posté par mikayaou mikayaou

bonap' 

 Gymnastique algébrique_18 Posté le 01-07-08 à 13:33
Posté par rogerd rogerd

Bonjour (ou rebonjour?)

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Je note n le premier membre. Je lui associe

m=(2/3).(4/5)...(100/101).

En comparant les termes deux à deux, on voit que n<m.

Donc n^2<nm = 1/101<1/100 .

Donc n<1/10.

Sauf erreur...

 re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18 Posté le 01-07-08 à 13:44
Posté par mikayaou mikayaou

très jolie démo, rogerd 

 re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18 Posté le 01-07-08 à 13:56
Posté par mikayaou mikayaou

>rogerd 

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avec ta méthode, j'ai :

N = 1/2 . 3/4 . 5/6 ... (2n-1)/(2n)

M = 2/3 . 4/5 . 6/7 ... (2n)/(2n+1)

N < M , N² < NM = 1/(2n+1)

pour n > 4999, N < 1/100

c'est quand même très approximatif car, en réalité, c'est n > 3215 :

N = 1/2 . 3/4 . 5/6 ... 6427/6428 . 6429/6430 < 1/100

 Gymnastique algébrique_18 Posté le 01-07-08 à 14:11
Posté par rogerd rogerd

mikayaou

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Ta question subsidiaire, sans calculer le premier membre, me paraît très dure...
 re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18 Posté le 02-07-08 à 00:10
Posté par mikayaou mikayaou

hormis rogerd, personne d'intéressé ?

 re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18 Posté le 02-07-08 à 06:50
Posté par veleda veleda

bonjour mykayaou
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 si si je me suis intéressée  à cette inégalité hier

le membre de gauche A100est égal à 2/I100 où I100=0/2sin100tdt

on trouvait souvent cette question dans les sujets des écoles de commerce il y a quelques dizaines d'années

I101=(2.4.......100)/(3.5......101) 

A100.I101=1/101

A100/I101<1

on en déduit l'inégalité demandée

je vais essayer de ne pas me tromper en postant (j'ai perdu mes lunettes )
 re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18 Posté le 02-07-08 à 07:25
Posté par mikayaou mikayaou

merci veleda : bonne recherche...

 re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18 Posté le 02-07-08 à 08:05
Posté par veleda veleda

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si tu veux dire bonne recherche pour mes lunettes je crains fort qu'elles ne soient parties à la déchèterie  avec un grand sac de roses fanées
 re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18 Posté le 02-07-08 à 08:06
Posté par mikayaou mikayaou

aïe !

 re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18 Posté le 02-07-08 à 22:32
Posté par jandri jandri

Bonjour à tous.

C'est rogerd qui a donné la démonstration la plus élémentaire (et la plus rapide) mais c'est veleda qui donne la méthode qui permet de calculer le plus petit n qui convient (au passage, mikayaou n'a pas donné le plus petit n pour lequel le produit est inférieur à 0,01).
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Je note  l'intégrale de Wallis,  et . On montre d'une part que la suite  est décroissante, d'autre part (avec une intégration par parties donc niveau TS) que ; on en déduit que  et que . De  on déduit  d'où avec  et : . Cela entraine que la limite de  est égale à .

On peut être plus précis en étudiant la suite  qui a pour limite : ; on en déduit que la suite  est croissante et donc  d'où . On ne peut pas remplacer  par une constante plus grande. Cela entraine que , que , que  et que .

 re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18 Posté le 02-07-08 à 23:18
Posté par veleda veleda

bonsoirJandry
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mykayaou donne 3215 ce n'est pas trés loin de ce que tu trouves

je n'ai pas eu le temps de faire le calcul mais je te fais confiance
  re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18 Posté le 03-07-08 à 07:55
Posté par mikayaou mikayaou

salut veleda et Jandri 

aux erreurs de calcul d'Open_Office_Calc près, c'est ce que je trouve ...

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