Forum : algèbre :
application ( surjective /injective )

Salut  ,  
Soit  E  un sous-ensemble  de et  une  application  f:E

a) Si  f  est  surjective  de  E sur alors  il existe  une  unique  application h de   dans  E telle  que  h 0 f = Identité de E  

b) Si f est  injective  alor  il  existe  une  application  g de f(E) dans  E telle que  g 0 f= Identité de  E

c) f est  surjective  si  pour  tout  x de E , il existe  un  unique  y  telque y=f(x)

j'ai  choisi  l'affirmation  c)  

Salut,

pour la c) c'est juste mais c'est pas une condition nécessaire, il me semble que la b) est aussi juste.

pour  c)  c'est  par  définition mais  avez vous  une  idée  pour b)  

Non la c) est complètement fausse
f surjective c'est pour tout y de ensemble d'arrivée il existe un x de E ensemble de départ tel que y =f(x).
Le x n'est pas unique a priori. Si l'application est injective et surjective le x est unique.

éthymologie de surjective : f se jette sur l'ensemble d'arrivée

le b) est juste

le a) est clairement faux même pour l'existence de h
par exemple si on considère et . f est clairement surjective et si h existait on aurait et aussi . Ce qui est absurde.

pour la c): par définition oui, mais c'est pas la définition attention.

pour la b), tu peux regarder ici --> la proposition 1) avec la démo qui suit en prenant et .

Bonjour
la c), ce n'est pas la définition ! la définition :

f surjective <==> pour tout y de IR, il existe au moins un x de E tel que f(x) = y

c) est la définition d'une application, pas d'une surjection !

merci  pour  votre aide à tous

oups oui quelle gaffe pour la c)

citation :
le a) est clairement faux même pour l'existence de h

Non, la surjectivité de f implique l'existence de h (bon, d'accord, on a quand même besoin de l'axiome du choix, mais bon ^^)
Par contre c'est clair qu'il n'y a aucune raison pour qu'elle soit unique.

Fractal

citation :
Non, la surjectivité de f implique l'existence de h Par contre c'est clair qu'il n'y a aucune raison pour qu'elle soit unique.

Le contre exemple ne te suffit pas ? Je le redonne.
f est clairement surjective et si h existait on aurait    et aussi . Ce n'est pas possible que la même fonction h prenne deux valeurs différentes en 0. Ce qui est absurde.

Il ne s'agit pas du tout de l'unicité de h mais d'une contradiction a son existence.
tu confonds avec l'énoncé

Si f est  injective  alors  il  existe  une  application  g de dans  E telle que  g 0 f= Identité de  E

ou bien

Si f est  surjective  alors  il  existe  une  application  h de dans  E telle que  f0h = Identité de   qui utilise l'axiome du choix.

Rah zut, j'ai encore dit une bêtise, je confondais effectivement avec ton deuxième énoncé

Fractal