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Niveau Maths sup
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application ( surjective /injective )

Posté par
Gauss-Tn
01-07-08 à 12:55

Salut  ,  
Soit  E  un sous-ensemble  de et  une  application  f:E

a) Si  f  est  surjective  de  E sur alors  il existe  une  unique  application h de   dans  E telle  que  h 0 f = Identité de E  

b) Si f est  injective  alor  il  existe  une  application  g de f(E) dans  E telle que  g 0 f= Identité de  E

c) f est  surjective  si  pour  tout  x de E , il existe  un  unique  y  telque y=f(x)

j'ai  choisi  l'affirmation  c)  

Posté par
romu
re : application ( surjective /injective ) 01-07-08 à 13:44

Salut,

pour la c) c'est juste mais c'est pas une condition nécessaire, il me semble que la b) est aussi juste.

Posté par
Gauss-Tn
application ( surjective /injective ) 01-07-08 à 14:07

pour  c)  c'est  par  définition mais  avez vous  une  idée  pour b)  

Posté par
apaugam
re : application ( surjective /injective ) 01-07-08 à 14:15

Non la c) est complètement fausse
f surjective c'est pour tout y de \mathbb R ensemble d'arrivée il existe un x de E ensemble de départ tel que y =f(x).
Le x n'est pas unique a priori. Si l'application est injective et surjective le x est unique.

éthymologie de surjective : f se jette sur l'ensemble d'arrivée

le b) est juste

le a) est clairement faux même pour l'existence de h
par exemple si on considère E=\mathbb R^2 et f : (x,y)\mapsto x. f est clairement surjective et si h existait on aurait (0,1) =h\circ f(0,1)=h(0) et aussi (0,2) =h\circ f(0,2)=h(0). Ce qui est absurde.

Posté par
romu
re : application ( surjective /injective ) 01-07-08 à 14:15

pour la c): par définition oui, mais c'est pas la définition attention.

pour la b), tu peux regarder ici --> injection la proposition 1) avec la démo qui suit en prenant X=E et Y=f(E).

Posté par
lafol Moderateur
re : application ( surjective /injective ) 01-07-08 à 14:17

Bonjour
la c), ce n'est pas la définition ! la définition :

f surjective <==> pour tout y de IR, il existe au moins un x de E tel que f(x) = y

c) est la définition d'une application, pas d'une surjection !

Posté par
Gauss-Tn
application ( surjective /injective ) 01-07-08 à 14:22

merci  pour  votre aide à tous

Posté par
romu
re : application ( surjective /injective ) 01-07-08 à 14:32

oups oui quelle gaffe pour la c)

Posté par
Fractal
re : application ( surjective /injective ) 02-07-08 à 01:01

Citation :
le a) est clairement faux même pour l'existence de h

Non, la surjectivité de f implique l'existence de h (bon, d'accord, on a quand même besoin de l'axiome du choix, mais bon ^^)
Par contre c'est clair qu'il n'y a aucune raison pour qu'elle soit unique.

Fractal

Posté par
apaugam
re : application ( surjective /injective ) 02-07-08 à 11:38

Citation :
Non, la surjectivité de f implique l'existence de h
Par contre c'est clair qu'il n'y a aucune raison pour qu'elle soit unique.

Le contre exemple ne te suffit pas ? Je le redonne.
f : (x,y)\mapsto x f est clairement surjective et si h existait on aurait  h(0)=h\circ f(0,1)=(0,1)  et aussi  h(0)=h\circ f(0,2)=(0,2). Ce n'est pas possible que la même fonction h prenne deux valeurs différentes en 0. Ce qui est absurde.

Il ne s'agit pas du tout de l'unicité de h mais d'une contradiction a son existence.
tu confonds avec l'énoncé

Si f est  injective  alors  il  existe  une  application  g de \mathbb R dans  E telle que  g 0 f= Identité de  E

ou bien

Si f est  surjective  alors  il  existe  une  application  h de \mathbb R dans  E telle que  f0h = Identité de  \mathbb R qui utilise l'axiome du choix.

Posté par
Fractal
re : application ( surjective /injective ) 02-07-08 à 11:58

Rah zut, j'ai encore dit une bêtise, je confondais effectivement avec ton deuxième énoncé

Fractal



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