Fonctions

Posté par jenny_f2m jenny_f2m

Bonjour a tous,
j'ai besoin de votre aide pour résoudre un problème sur les fonctions. je n'ai pas fait de maths depuis des années et je ne sais même pas comment commencer.

voici le travail que j'ai a faire :

On considère l'application fn de R dans IR définie par :


        x^n
fn(x) = ____ e ^(1-x)  pour n € N* ; f0 (x)= e^(1-x)

         n!

A Etudier les variations de fn
B Soit (cn) la courbe représentative de fn dans le plan P'rapporté au repère orthonormé (O,i,j). tracer (c2) et (c3). Préciser la position relative de ces deux courbes.

c Montrer que si 0<= x <=1, on a : A(à l'envers) n >=1,0<=fn(x)<=1/n!

j'espère que c'est assez clair, et je vous remercie d'avance

Posté par mikayaou mikayaou

bonjour

domaine de définition : R

que trouves-tu pour la dérivée de fn ?

Posté par Tigweg Tigweg

Bonjour, pour la A) calcule fn'(x), factorise au maximum l'expression obtenue puis étudie le signe de chaque facteur.

Si tu n'es pas sûr, poste ton résultat, je corrigerai.

Posté par jenny_f2m jenny_f2m

cela va me prendre un peu de temps, le temps de retrouver la méthode pour les dérivées!

Posté par mikayaou mikayaou

Pour t'aider à "voir" les courbes, je t'ai représenté les cinq premières :



enfin, SQN a représenté

Posté par mikayaou mikayaou

Oops, salut Tigweg

je te laisse la main

Posté par jenny_f2m jenny_f2m

en tout cas merci de votre rapidité

Posté par Tigweg Tigweg

Avec plaisir pour ce qui me concerne

Salut mikayaou,pas de problème reste! tu dessines si bien!

> Tu n'as besoin que des formules         

Posté par jenny_f2m jenny_f2m

je dois etre vraimant nulle, je dirais fn'(x)=((nx^(n-1)/n)1-x(e^(1-x) mais je dois etre complètement a coté de la plaque!

Posté par Tigweg Tigweg

Ce n'est pas juste, tu dois dériver         puis appliquer la première formule que je t'ai donnée.

Peux-tu me donner u'(x) et v'(x) pour commencer?

Posté par jenny_f2m jenny_f2m

u'= nx^(n-1)/x et v'= e^(1-x)

Posté par Tigweg Tigweg

Non, le dénominateur de u est une constante multiplicative qui vaut n!, par conséquent d'après la deuxième règle que je t'ai rappelée, elle "ne bouge pas".

Ainsi            , tu es d'accord?

Posté par jenny_f2m jenny_f2m

je suis d'accord

Posté par Tigweg Tigweg

Pour dériver v(x), applique la dernière formule que je t'ai rappelée en posant u(x)=1-x.

Qu'obtiens-tu? (ta réponse était fausse)

Posté par jenny_f2m jenny_f2m

v'(x) = 1-x/e^(1-x)

Posté par Tigweg Tigweg

Non.La réponse est u'.e^u avec u(x)=1-x donc u'(x)=?

Posté par jenny_f2m jenny_f2m

e^(1-x)

Posté par Tigweg Tigweg

Non, tu confonds les fonctions là!

Je répète:

u(x)=1-x donc u'(x)=?

Posté par jenny_f2m jenny_f2m

u'=0

Posté par Tigweg Tigweg

Bon je crois que tu devrais commencer par faire de sérieuses révisions avant d'aborder des exercices mêlant des suites et des fonctions.Tu ne connais pas ton cours, donc tu ne peux pas y arriver.

Je te recommande de visiter la page    (clique sur la maison) pour commencer:elle contient les formules à savoir.


Pour t'entraîner au calcul de dérivées :

Posté par Tigweg Tigweg

A me relire je m'aperçois que je me suis laissé emporter et je te prie de bien vouloir m'excuser, d'autant que tu as certainement besoin de prendre confiance en toi si tu n'as pas touché aux maths depuis longtemps.

Si u(x)=1-x alors u'(x)= dérivée de 1 moins dérivée de x = 0 - 1 = -1.

A présent tu connais u, u', v et v', donc tu peux calculer f'(x) : c'est u'v + uv'.

Mais je te recommande toujours de commencer par les révisions que je t'ai indiquées.
Bon courage et encore désolé pour tout à l'heure.

Posté par jenny_f2m jenny_f2m

merci je vais me débrouiller

Posté par mikayaou mikayaou

Tigweg

Posté par Tigweg Tigweg

Merci mikayaou, mais je crois que le mal est fait...

Posté par mikayaou mikayaou

peut-être pas, Tigweg, jenny va sûrement revenir nous présenter ses calculs faits et tu pourras vraisemblablement l'aider encore...

Posté par jenny_f2m jenny_f2m

bon me revoila, je trouve
       x^n-1       x^n
f'(x)=_______  -  _____  . e^1-x
      (n-1)!        n!  

si c'est pas ça j'abandonne!

Posté par mikayaou mikayaou

n'abandonne pas

Tigweg va te prendre par la main pour arriver au résultat...

Posté par Tigweg Tigweg

Bonjour vous deux,

c'est quasiment juste!

Tu as simplement oublié        à côté de       :

il correspond au facteur v dans l'expression u'v+uv' .


Peux-tu rectifier ta réponse en conséquence? Il faudra ensuite essayer de factoriser au maximum.

Posté par jenny_f2m jenny_f2m

x^n-1            x^n    
_____  . e^1-x +______ . -e^1-x

(n-1)!            n!

Posté par Tigweg Tigweg

Oui, sauf qu'il n'y a pas un deuxième "moins" entre la dernière barre de fraction et la dernière exponentielle, mais c'est sans doute une faute de frappe.

A présent, vois-tu quoi factoriser?

_{mikayaou> Tu n'avais pas bsoin de me laisser la main coûte que coûte, jenny est peut-être pressée!}

Posté par jenny_f2m jenny_f2m

e^1-x((x^n-1/(n-1)!)-(-x^n/n!))

Posté par Tigweg Tigweg

Tu as toujours un moins en trop dans la dernière parenthèse.

De plus, tu peux encore factoriser .

Posté par jenny_f2m jenny_f2m

désolée, je ne vois pas

Posté par Tigweg Tigweg

Observe que   :

un même facteur apparaît ainsi dans chaque terme de la parenthèse, il est donc possible de le factoriser.

Posté par jenny_f2m jenny_f2m

(x^n-1/(n-1)).(x^n!+e^1-x)

Posté par Tigweg Tigweg

Non, l'exponentielle reste tranquillement devant ta première factorisation de 14h38 et maintenant on continue à factoriser la parenthèse.

Comme je te l'ai indiqué plus haut, cette parenthèse s'écrit elle-même      avec  .


On peut donc refactoriser a, de sorte que la parenthèse s'écrive

   c'est-à-dire   .


En résumé, on a au final:


   , es-tu d'accord?

Posté par jenny_f2m jenny_f2m

oui

Posté par Tigweg Tigweg

Bon.Sais-tu étudier le signe d'une telle expression?

Posté par jenny_f2m jenny_f2m

je pense qu'il faut étudier le signe de x^n-1/(n-1)! puis le signe de e^1-x, puis le signe de (1-x/n)

Posté par Tigweg Tigweg

Exactement.Quel est le signe des deux premiers facteurs, et comment trouver celui du troisième (la méthode)?

Posté par jenny_f2m jenny_f2m

x^n-1/(n-1) est positif si n différent de 1

Posté par Tigweg Tigweg

Même si n=1 puisque 0!=1 et que x^0=1.

Posté par jenny_f2m jenny_f2m

e^1-x est positif

Posté par Tigweg Tigweg

Oui.Reste le troisième facteur.

Posté par jenny_f2m jenny_f2m

1-(x/n) positif si x/n différent de 1

Posté par Tigweg Tigweg

Non, il est non nul  si x/n différent de 1 plutôt.

Trouver le signe d'une expression, c'est déterminer pour quelles valeurs de x elle est positive, pour quelles valeurs de x elle est nulle, et pour quelles valeurs de x elle est négative.

En pratique (ici par exemple), la résolution de l'inéquation fournit immédiatement les trois résultats.Essaye.

Posté par jenny_f2m jenny_f2m

x>-1/n

Posté par Tigweg Tigweg

Faux.Première étape:

1 > x/n soit x/n < 1.

Donc?

Posté par jenny_f2m jenny_f2m

x<1