Montrer qu'un anneau aux éléments idempotents est commutatif

Posté par charmuzelle charmuzelle

Bonjour à mes fidèles aides du forum

C'est l'histoire d'un anneau (A,+,) dont tous les éléments x vérifient x²=x (on dit qu'ils sont équipotents ou un mot comme ça ? Ah non : idempotents)

Il faut prouver que A est commutatif.

Mais attention, il n'est dit nulle part que A est intègre et c'est cela qui me pose problème.

Voilà comment j'ai commencé : j'ai pris x et y deux éléments quelconques de A.

On a d'une part xy = x²y²=(xx)(yy)=x(xy)y


Et d'autre part xy=(xy)²=(xy)(xy)=x(yx)y

On a donc x(xy)y=x(yx)y

Et là je ne peux pas simplifier par x ou par y vu que mon anneau n'est pas intègre.

J'ai aussi écrit l'égalité équivalente :
x(xy-yx)y=0
qui est donc vraie pour tous x et y de l'anneau

Mais je ne vois pas ce qui me permet de justifier que xy-yx doit valoir nécessairement 0.

Quelqu'un peut-il me renseigner ? D'avance, un grand merci.

Bonne fin de journée.

Posté par critou critou

Bonjour,

Je te suggère de calculer plutôt , ça marchera mieux

Posté par Tigweg Tigweg

Bonjour charmuzelle,

remarque pour commencer que pour tout x on a (x+x)²=x+x donc x+x+x+x=x+x, par suite x+x=0 (car (A,+) est un groupe).

L'anneau est donc de caractéristique 2.

De plus pour tous x et y on a :

(x+y)²=x+y = x+xy+yx+y d'où par commutativité de l'addition:

xy+yx=0.

Ainsi xy=-yx, avec -yx=yx d'après ce qui précède, CQFD.

Posté par Tigweg Tigweg

Salut critou

Posté par charmuzelle charmuzelle

OK Tigweg, c'est vu, merci. Tu as calé en algèbre ! Parce que tout cela me semble un peu tiré par les cheveux ...

Je vais aller voir ce que tu as écrit à propos de l'autre exercice.

Merci à Critou aussi, et à bientôt ! (Pas demain car on m'envoie à 200 km pour le bac)

Posté par Tigweg Tigweg

J'avoue que c'est un peu tiré par les cheveux, mais l'exercice est classique et je connaissais le résultat.

Avec plaisir!