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Montrer qu'un anneau aux éléments idempotents est commutatif
Bonjour à mes fidèles aides du forum
C'est l'histoire d'un anneau (A,+,
) dont tous les éléments x vérifient x2=x (on dit qu'ils sont équipotents ou un mot comme ça ? Ah non : idempotents)
Il faut prouver que A est commutatif.
Mais attention, il n'est dit nulle part que A est intègre et c'est cela qui me pose problème.
Voilà comment j'ai commencé : j'ai pris x et y deux éléments quelconques de A.
On a d'une part xy = x2y2=(xx)(yy)=x(xy)y
Et d'autre part xy=(xy)2=(xy)(xy)=x(yx)y
On a donc x(xy)y=x(yx)y
Et là je ne peux pas simplifier par x ou par y vu que mon anneau n'est pas intègre.
J'ai aussi écrit l'égalité équivalente :
x(xy-yx)y=0
qui est donc vraie pour tous x et y de l'anneau
Mais je ne vois pas ce qui me permet de justifier que xy-yx doit valoir nécessairement 0.
Quelqu'un peut-il me renseigner ? D'avance, un grand merci.
Bonne fin de journée.
Bonjour charmuzelle,
remarque pour commencer que pour tout x on a (x+x)²=x+x donc x+x+x+x=x+x, par suite x+x=0 (car (A,+) est un groupe).
L'anneau est donc de caractéristique 2.
De plus pour tous x et y on a :
(x+y)²=x+y = x+xy+yx+y d'où par commutativité de l'addition:
xy+yx=0.
Ainsi xy=-yx, avec -yx=yx d'après ce qui précède, CQFD. 
OK Tigweg, c'est vu, merci. Tu as calé en algèbre ! Parce que tout cela me semble un peu tiré par les cheveux ...
Je vais aller voir ce que tu as écrit à propos de l'autre exercice.
Merci à Critou aussi, et à bientôt ! (Pas demain car on m'envoie à 200 km pour le bac)
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